¿Reglas de los logaritmos mediante series de Taylor?

Question

Me pregunto sobre una prueba de aditividad del logaritmo natural $$\ln(ab)=\ln a+\ln b$$ utilizando la serie de potencias $$\ln(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}(x-1)^n.$$ Dado que esta serie de potencias sólo converge en $x\in(0, 2],$ normalmente no se utiliza como "la" definición.
¿Hay alguna forma (agradable) de demostrarlo utilizando sólo la serie de potencias (no la función exponencial)?

Una posible idea es invertir la serie de potencias para obtener otra serie de potencia $p(x)$ que converge en todas partes y tiene la propiedad $p(x+y)=p(x)p(y)$ (mediante productos de Cauchy) y utilizarlo para derivar el resultado deseado. Pero esto no es lo que estoy buscando. Porque no quiero exponenciales en ninguna parte de la prueba. Probablemente algo análogo a los productos de Cauchy haría el trabajo.

Answer 1

Como nadie ha respondido a esta vieja pregunta, he pensado responderla yo mismo. Pero todas vuestras respuestas basadas en ideas diferentes siguen siendo bienvenidas. Tenga en cuenta que $$\ln x=(x-1)-\dfrac{(x-1)^2}{2}+\dfrac{(x-1)^3}{3}-\dfrac{(x-1)^4}{4}+\cdots $$ implica que $\ln (1)=0$ y, por diferenciación término a término $$\dfrac{d(\ln x)}{dx}=1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots=\dfrac{1}{x}$$ para todos $x\in (0,2).$ La segunda igualdad se deduce de la suma de una serie geométrica infinita. Por tanto, para cualquier constante $a,$ tenemos $$\dfrac{d(\ln ax)}{dx}=\dfrac{1}{ax}.a=\dfrac{1}{x}$$ por la regla de la cadena. Esto implica $$\ln (ax)=\ln (x)+C$$ para alguna constante $C$ y evaluando ambos lados en $x=1$ obtenemos el resultado deseado.