Dominio y codominio que determinan si se trata de una función

Question

Estoy trabajando en una pregunta sobre dominio y codominio. Hasta ahora, sé que el dominio es toda la $x$ valores de la función, y que el codominio son todos los valores posibles que puede haber en el dominio, y también sé que para que describa una función tiene que ser una relación uno a uno. Pero lo que no entiendo es cómo leer eso en una pregunta del tipo $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ donde $f(n) = \sqrt{n}$ No veo de dónde sacar el dominio y el codominio.

Gracias.

Answer 1

Veamos algunas definiciones.

Definición. En par ordenado $(a, b)$ es un conjunto de dos elementos con la propiedad de que $(a, b) = (c, d)$ sólo si $a = c$ y $b = d$ .

Definición. Sea $A$ y $B$ sean conjuntos. La dirección productos cruzados de conjuntos $A$ y $B$ denotado $A \times B$ es el conjunto de pares ordenados $$A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}$$

Definición. A relación $R$ de un conjunto $A$ a un conjunto $B$ es un subconjunto de $A \times B$ .

Definición. A función $f: A \to B$ es una relación del conjunto $A$ establecer $B$ en tal que para cada $a \in A$ existe exactamente un par ordenado $(a, b) \in f$ .

Definición. Sea $f: A \to B$ sea una función. Si $b \in B$ es el elemento único asignado a $a \in A$ por $f$ escribimos $f(a) = b$ y decir que $b$ es el imagen o valor de $a$ en $f$ .

Definición. Sea $f: A \to B$ sea una función del conjunto $A$ establecer $B$ . El conjunto $A$ se denomina dominio de $f$ y $B$ se denomina codominio de $f$ . En gama denotado $f(A)$ es el conjunto de imágenes de los elementos de $A$ . $$f(A) = \{f(a) \mid a \in A\}$$

Observe que el dominio es el conjunto de valores de entrada, el rango es el conjunto de valores de salida y el codominio es un conjunto que contiene el conjunto de valores de salida.

*Definición gráfico de función $f: A \to B$ es el conjunto de pares ordenados $(a, b)$ tal que $f(a) = b$ .

Obsérvese que una función se especifica por su dominio, codominio y gráfica.

Es $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ definido por $f(n) = \sqrt{n}$ una función.

Se nos da el dominio $\mathbb{N}$ y codominio $\mathbb{N}$ . Si $f$ es una función, entonces para cada $n \in \mathbb{N}$ debe existir un par ordenado $(n, \sqrt{n})$ donde $n \in \mathbb{N}$ y $\sqrt{n} \in \mathbb{N}$ . Desde $2 \in \mathbb{N}$ y $\sqrt{2} \notin \mathbb{N}$ esto es imposible, así que $f$ no es una función.

Answer 2

Se podría definir $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ para números complejos diferentes de 0, pero dependiendo de tu problema puedes considerar sólo números reales positivos, números naturales, números racionales, etc. Y sobre el codominio, que está escrito en su pregunta no es cierto, ya que la inversa multiplicativa de la raíz cuadrada de un número natural no es siempre un número natural, por lo que el codominio no puede ser $\mathbb{N}$ . Y lo de que una función es una relación uno a uno no es necesariamente cierto, ya que $f(x) = x^{2}$ es una función pero no uno a uno, es decir, no es inyectiva.

Answer 3

En su caso, tiene $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ , $f(n)=\sqrt{n}$ .

Aquí, todos los números naturales son argumentos válidos para la raíz cuadrada (no se admiten raíces cuadradas de números negativos ni divisiones por $0$ ), por lo que el dominio será $\mathbb{N}$ . Pero hay una trampa. Todos los números naturales no dan raíces cuadradas situadas en $\mathbb{N}$ . Volvamos a este tema después de tratar la gama.

Sin embargo, el codominio es $\mathbb{N}$ ad dado en la definición de la función.

Ahora, para el rango, tenga en cuenta que la función debe mapear números reales en sus raíces cuadradas que también tienen que ser números naturales. Claramente, la función debe mapear números naturales que son raíces cuadradas si otros números naturales.

Ahora podemos ver que el dominio d consiste en todos los números naturales que tienen raíces cuadradas naturales, mientras que el rango de todos los números naturales que son raíces cuadradas de los números naturales del dominio. Pero nótese que todos los números naturales son raíces cuadradas de unos u otros números naturales (¿se entiende por qué?).

Simbólicamente,

$D(f) =\{ n | \sqrt{n} \in \mathbb{N} \} = \{ n^2 | n \in \mathbb{N} \} = \{ 1,4,9,..\}$ y,

$R(f) = \mathbb{N} =$ Codominio $(f)$ .

Ahora, ¿puedes ver cómo si tomamos la función para ser $f : \mathbb{R^{*}} \to \mathbb{R^{*}}$ tendrás

$D(f) = R(f) = C(f) = \mathbb{R^{*}}$