¿Es esta una prueba válida de la desigualdad del triángulo invertido

Question

Aquí está mi prueba de la desigualdad del triángulo invertido. Obsérvese que se nos da el hecho de que $|a+b| \leq |a| + |b|$

Supongamos que a = y, b = x-y, entonces

$|a+b| \leq |a| + |b|\implies|y + x-y| \leq |y| + |x-y|$

$\implies |x| \leq |y| + |x-y|$

$\implies |x| - |y| \leq |x - y|$

Supongamos ahora que a = x-y, b = -x, entonces

$|a+b| \leq |a| + |b|$ => $|x - y - x| \leq |x-y| + |-x|$

$\implies|-y| \leq |x-y| + |x|$

$\implies|y| - |x| \leq |x - y|$

Así, puesto que $|x - y| \geq |x| - |y|$ y $|x-y| \geq |y| - |x|$ , $|x-y| \geq ||x|-|y||$

Mi problema con esto es que mi prueba de la parte 2 supone valores de $a$ y $b$ que son diferentes a los de la parte 1. ¿Está permitido? En caso negativo, ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Su prueba está bien.

$a$ y $b$ puede tomar un valor arbitrario.

Observación: Después de haber probado $$|x|-|y| \leq |x-y|$$

De hecho, basta con cambiar el papel de $x$ y $y$ y concluye que

$|y|-|x| \leq |y-x|=|x-y|$ directamente.