La imagen de un elemento es el cuadrado de un elemento, precisamente dos ideales máximos que satisfacen la condición.

Question

Digamos que tenemos $\mathbb{F}_q$ un campo finito, $\text{char.} \neq 2$ , han $f \in \mathbb{F}_q[x]$ , $f \notin \mathbb{F}_q$ sea un elemento libre de cuadrados, y veamos el anillo $\mathbb{F}_q[x, \sqrt{f}]$ . Visite $g$ denota un polinomio irreducible en $\mathbb{F}_q[x]$ que no divide $f$ .

Supongo que lo siguiente es cierto.

Si la imagen de $f$ en $\mathbb{F}_q[x]/(g)$ es un cuadrado de algún elemento, hay precisamente dos ideales maximales $\mathfrak{p}$ de $\mathbb{F}_q[x, \sqrt{f}]$ satisfaciendo $\mathfrak{p} \supset g\mathbb{F}_q[x, \sqrt{f}]$ . Para estos $\mathfrak{p}$ , $$\mathbb{F}_q[x]/(g) \overset{\cong}{\to} \mathbb{F}_q[x, \sqrt{f}]/\mathfrak{p}.$$

¿Es cierto o no?

Answer 1

Parece que tienes razón.

Sea $R=F[X,Y]/(Y^2-f)$ donde $F$ es un campo de característica $\ne2$ .
Entonces $gR=(Y^2-f,g)/(Y^2-f)$ y $R/gR=F[X,Y]/(Y^2-f,g)$ .
Pero podemos escribir $f=h^2+gu$ (en $F[X]$ ) y luego $(Y^2-f,g)=(Y^2-h^2,g)$ . Ahora $$R/gR=F[X,Y]/(Y^2-h^2,g)\simeq (F[X]/(g))[Y]/(Y^2-h^2).$$ Pero $L=F[X]/(g)$ es un campo y por el Teorema del Resto Chino $R/gR\simeq L\times L$ (tenga en cuenta que $h\ne0$ en $L$ ).
Esto demuestra exactamente lo que habías adivinado: hay exactamente dos ideales primos que contienen $g$ y, además, son maximales. También está bastante claro ahora que $R/\mathfrak p\simeq L$ en ambos casos.