En $\sum_{n=2}^\infty\frac{\cos\ln\ln n}{\ln n}$ convergen?

Question

$$\sum_{n=2}^\infty\frac{\cos\ln\ln n}{\ln n}$$ Mi idea es $$-\frac1{\ln n}\le\frac{\cos\ln\ln n}{\ln n}\le\frac1{\ln n}$$ Pero no sé si $\sum\frac1{\ln n}$ converge.

Answer 1

El primer término del Fórmula de suma de Euler-Macluarin es

$$\int_1^N \frac{\cos(\log\log x)}{\log(x)}\,dx=\int_{-\infty}^{\log\log N} e^{e^x}\cos(x)\,dx$$

que diverge como $N\to \infty$ . Por lo tanto, la serie de interés diverge.

Answer 2

De memoria y desde mi teléfono:

Cos(log log n) es esencialmente constante para tramos cada vez más largos y la suma 1/log n diverge por lo que la suma diverge.

Estoy seguro de que esto podría hacerse riguroso para cualquier función thst crece lentamente como log log.