Estoy estudiando geometría diferencial pero me cuesta imaginar la curvatura. ¿Puede alguien explicármelo en términos sencillos, quizás con algún diagrama. Lo más sencillo posible.
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stu
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La curvatura de un círculo se mide por el radio: cuanto más pequeño es el radio, más curvo es el círculo. Esto permite definir la curvatura de cualquier colector unidimensional, ya que localmente basta con "ajustar un círculo" a él. En la figura, la curvatura del colector $\Sigma$ es mayor en $P$ que en $Q$ porque $r_1<r_2$ .
No intentaré hacer más diagramas, pero ahora piensa en 2 dimensiones: necesitarás dos círculos de distinto tamaño en cada punto para describir la curvatura de la superficie en ese punto. Así que tendremos dos curvaturas (la curvaturas principales ), $\kappa_1$ y $\kappa_2$ que codifican la misma información que los tamaños de los círculos (si se separa la memoria, $\kappa=1/r$ y $\kappa_1$ es la mayor curvatura posible y $\kappa_2$ es el más pequeño). Entonces la curvatura gaussiana es el producto de éstas, $$K=\kappa_1\kappa_2$$
En dimensiones superiores, estas descripciones tan sencillas no funcionan tan bien, y es mejor pensar en la medición de la curvatura como lo que ocurre cuando nos movemos alrededor de vectores. Sin embargo, ese concepto se deriva de las generalizaciones apropiadas del concepto anterior.
Michael Hardy
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La curvatura es la rapidez con la que cambia la dirección a medida que un punto se desplaza a lo largo de una curva.
En el espacio físico, la curvatura se mide en radianes por metro o radianes por milla o grados por milla, o similares. Si te mueves un metro por un camino, ¿en cuántos grados cambia tu dirección? Divida el cambio de dirección, en grados, por la distancia, en metros, y obtendrá la curvatura media, en grados por metro. A continuación, toma el límite a medida que esa curva de un metro de longitud se reduce hasta un punto, y tendrás la curvatura en grados por metro en ese punto.
En matemáticas puras, a menudo se consideran las distancias como meros números, en lugar de multiplicar un número por una unidad de medida. Entonces la curvatura se convierte en un número adimensional.
