Cuando es Br(X) = H^2(X,G_m)?

Question

En Milne, Étale cohomology, está demostrado que el $\mathrm{Br}(X) = H^2(X,\mathbf{G}_m)$ $X$ regular dimensión de $\leq 2$. Hay en el mientras tanto, otros resultados para $X$ regular?

Answer 1

Al $X$ es cuasi-proyectiva a través de un esquema afín (o, más generalmente, si $X$ tiene un amplio [EDITAR: invertible] gavilla), entonces su Brauer grupo es isomorfo a la torsión parte de $H^2(X, {\mathbb G}_m)$. Este es un inéditos resultado de Gabber, y J. de Jong escribió una calidad diferentes.

Answer 2

Queridos norondion: a mí me parece de sus comentarios a Qing Liu respuesta que usted está interesado en cuando este cohomological Brauer grupo es en realidad $0$. Si que es cierto, es que estos dos MO preguntas (y Emerton la respuesta de uno de ellos), puede ser de interés:

Dos conjeturas por Gabber.

Plana cohomology y Picard grupos.

(Por supuesto, el perforado espectro de un anillo local regular es un esquema regular. También, usted puede conseguir probablemente algunas declaraciones proyectiva $X$ observando el anillo local del cono sobre $X$). Mis disculpas si esto no es relevante.