La probabilidad media de que se produzca un suceso es de 3 veces al año. ¿Cuál es la probabilidad de que 1) que se produzca un suceso en un mes determinado; y 2) que se produzcan 10 sucesos en un mes concreto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Utilizamos un Poisson modelo: el número $X$ de sucesos al año tiene distribución de Poisson con parámetro $\lambda=3$ .
Entonces resulta que si $Y$ es el número de sucesos en el intervalo de tiempo $t$ entonces $Y$ tiene distribución Poisson con parámetro $\lambda t$ .
Tomarse un mes como $\frac{1}{12}$ de un año, encontramos que el número de eventos en un mes específico tiene distribución Poisson con parámetro $\frac{3}{12}$ .
Pasemos ahora a las preguntas. ¿Qué significa "un acontecimiento que ocurre en un mes concreto"? Exactamente $1$ ¿evento? ¿Al menos un acontecimiento? Falta claridad.
Si es exactamente $1$ entonces, por la fórmula habitual para las probabilidades regidas por la Poisson, la respuesta es $e^{-3/12}\frac{3/12}{1!}$ .
Si es al menos $1$ la probabilidad de que $Y=0$ es $e^{-3/12}$ por lo que la probabilidad es $\gt 0$ es $1-e^{-3/12}$ .
Para la probabilidad de $10$ eventos en un mes, queremos $\Pr(Y=10)$ . Esto es $e^{-3/12}\frac{(3/12)^{10}}{10!}$ extremadamente pequeño.
Observación: Hay muchos supuestos poco razonables en nuestro modelo. Como pavo asado una vez al año, más o menos lo menos que puedo. El modelo de Poisson daría un resultado muy inexacto para la probabilidad de que coma pavo asado en julio.
