Supongamos que $A_i$ es una secuencia creciente de conjuntos de un álgebra sigma. Es $sup\{\mu(A_i)\} = \mu\bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i\bigg)$ ?

Question

Supongamos que $A_i, i = 1, 2, 3 \ldots$ es una secuencia creciente de conjuntos de un álgebra sigma $\Sigma$ . Sea $\mu$ sea una medida sobre $\Sigma$ .

Es $\sup{\{\mu(A_i)\}} = \mu\bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i\bigg)$ ? El RHS es sin duda un límite superior, pero no puedo averiguar si es el límite superior mínimo. He intentado utilizar la definición de épsilon para demostrar que $\mu\bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i\bigg)$ es un supremum, pero en vano.

Answer 1

Si fijamos $$B_i = A_i \backslash A_{i-1}$$ entonces los conjuntos $B_i$ son disjuntos y $$A_n = \bigcup_{i=1}^n B_i. \tag{1}$$ Utilización de la $\sigma$ -aditividad de la medida $\mu$ encontramos $$\mu \left( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \right) = \mu \left( \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu(B_i) = \lim_{n \to \infty} \underbrace{\sum_{i=1}^n \mu(B_i)}_{\stackrel{(1)}{=} \mu(A_n)}.$$ Desde $\mu(A_n)$ está aumentando en $n$ esto demuestra $$\mu \left( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \right) = \sup_{n \in \mathbb{N}} \mu(A_n).$$ Esta propiedad de la medida $\mu$ se llama continuidad desde abajo .

Answer 2

Si $\mu$ se supone que es contablemente aditivo.

Tenemos $A_n\subset A_{n+1}$ para cada $n.$ Entonces

(I). Supongamos que $\sup_n\mu(A_n)=M<\infty.$ Sea $B_1=A_1$ y $B_{n+1}=A_{n+1}\setminus A_n$ y que $x_n=\mu(B_n).$ Tenemos $$\sup_n\sum_{j=1}^n x_j=\sup_n\mu(A_n)=M <\infty$$ y cada $x_j\geq 0.$ Por lo tanto $$M=\sum_{j=1}^{\infty}x_j =\sum_{j=1}^{\infty}\mu(B_j).$$ Ahora que $B_j$ y $B_k$ son disjuntos cuando $j\ne k$ tenemos $$M=\sum_{j=1}^{\infty}\mu(B_j)=$$ $$=\mu(\cup_{j=1}^{\infty}B_j)=$$ $$=\mu(\cup_{j=1}^{\infty}A_j).$$

(II). Debería ser obvio que $\mu(\cup_nA_n)\geq \sup_n\mu(A_n),$ porque $\cup_n A_n\supset A_j$ para cada $j.$ Así que si $\sup_n\mu(A_n)=\infty$ entonces $\mu(\cup_nA_n)=\infty.$

Si $\mu$ no es contablemente aditivo esto puede fallar. Por ejemplo $B$ sea el $\sigma$ -de todos los subconjuntos de $\Bbb N$ y que $\mu(A)=0$ si $A$ es finito y $\mu(A)=\infty $ si $A$ es infinito. Y que $A_n=\{j\in \Bbb N:j\leq n\}.$