Demostración de la convergencia mediante la prueba de la proporción.

Question

Trato de demostrar por la prueba de relación que esta serie converge : $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n+1)^n}{n^{2n}}$$

Sé que tengo que demostrar que $$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$$

Pero no consigo simplificar la siguiente expresión, $$\left| \frac{(2(n+1)+1)^{n+1}}{(n+1)^{2(n+1)}} \cdot \frac{n^{2n}}{(2n+1)^n} \right| $$

¿Puedes darme una pista?

Answer 1

La prueba de la raíz es en este caso más agradable para demostrar la convergencia. Sin embargo, si debe ser la Prueba de la Relación, reescriba la expresión para la relación como $$\frac{2n+3}{(n+1)^2} \cdot \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^n\cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n}.$$ El primer término anterior tiene límite $0$ . Veamos ahora el tercer término. Su recíproco es $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}$ que tiene límite $e^2$ .

Del mismo modo, podemos tratar el segundo término, un poco más complicado, que es $\left(1+\frac{2}{2n+1}\right)^n$ . Una pequeña manipulación, reescribiendo el exponente como $(2n+1)(n/(2n+1)$ , muestra que esto tiene límite $e$ .

Así que el primer plazo tiene límite $0$ y los otros dos términos están acotados por encima. Por tanto, nuestra $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ tiene límite $0\lt 1$ y por lo tanto tenemos convergencia.

Observación: Podríamos haber computado menos. Por ejemplo, el tercer término es claramente inferior a $1$ así que no tenemos que preocuparnos. Y no necesitamos encontrar el límite exacto del segundo término, siempre y cuando mostremos que está acotado por encima.

Answer 2

$$\left| \frac{(2n+3)^{n+1}}{(n+1)^{2n+2}} \cdot \frac{n^{2n}}{(2n+1)^n} \right|<\left| \frac{(2n+3)^{n+1}}{n^{2n+2}} \cdot \frac{n^{2n}}{(2n+1)^n} \right| =\frac{(2n+3)^{n+1}}{n^2*(2n+1)^n}=\frac{1}{n^2}*\frac{(2+\frac{3}{n})^{n+1}*n}{(2+\frac{1}{n})^n}<\frac{2n}{n^2}=\frac{2}{n}$$ Desde $$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{2}{n} \right|=0,$$ Tenemos $$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|<1$$ Por lo tanto, la serie converge