¿Por qué converge este producto infinito sobre los primos?

Question

Considere el producto $$\prod_p\Big(1+\frac1{(p-1)^3}\Big)$$ sobre los primos. No puedo ver fácilmente por qué esto debería converger. Algo como $\prod_p\big(1+\frac 1{p-1}\big)$ no converge, ya que (creo) $\prod_{p\leqslant x}\big(1+\frac 1{p-1}\big)\sim\log\log x$ .

He reescrito el producto como $$\exp\bigg(\sum_{p}\sum_{n}\frac{(-1)^{n+1}}{n(p-1)^{3n}}\bigg)$$ utilizando la serie de Taylor para el registro, pero no estoy seguro de cómo continuar.

Answer 1

Sea $p$ denotan el $n$ th prime so $$p-1\ge n\implies1+(p-1)^{-3}\le\exp n^{-3},$$ para que su producto $\le\exp\zeta(3)$ .

Answer 2

Desde entonces, para $x > 0$ , $\ln(1+x) =\int_0^x \dfrac{dt}{1+t} $ , $\ln(1+x) \lt x$ y $\ln(1+x) \gt \dfrac{x}{1+x} \gt x-x^2 $ .

Por lo tanto

$\begin{array}\\ \prod_p\Big(1+\frac1{(p-1)^3}\Big) &=e^{\sum_p \ln\Big(1+\frac1{(p-1)^3}\Big)}\\ &\lt e^{\sum_p \frac1{(p-1)^3}}\\ \end{array} $

y puesto que $\sum_p \frac1{(p-1)^3}$ converge, $e^{\sum_p \frac1{(p-1)^3}} $ converge.

En términos más generales, si $a_n > 0$ y $\sum a_n$ converge entonces

$\begin{array}\\ \prod_n\Big(1+a_n\Big) &=e^{\sum_n \ln(1+a_n)}\\ &\lt e^{\sum_n a_n}\\ \end{array} $

así que $\prod_n\Big(1+a_n\Big)$ converge.