Superficie de la esfera

Question

Otra pregunta sobre las esferas:

¿Es cierto que $|S_{n}| = O( \frac{1}{\sqrt n} )$ ?

(me refiero a la superficie de la esfera de n dimensiones) Gracias

Answer 1

Utilice Aproximación de Stirling $\Gamma(\frac n2)=(\frac n2 -1)!\approx (n/2)^{n/2}e^{-n/2}$ Así que $$ S_n=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac12 n)} \approx\frac{2\pi^{n/2}}{(\frac n2-1)^{\frac n2-1}e^{-\frac n2+1}} =2\left(\frac{\pi e^{1-2/n}}{(n/2-1)^{1-2/n}}\right)^{n/2}\\ \approx \left(\frac1n\right)^{n/2} =\left(\frac1{\sqrt{n}} \right)^{n} < \left(\frac1{\sqrt{n}} \right), $$ para $n>1$ (entonces $(n/2-1)^{1-2/n}\sim (n/2)\;$ para grandes $n$ ). Así que $S_n$ no crece más rápido que $O\left(\frac1{\sqrt{n}}\right)$ .