¿Son las definiciones de adición de números naturales como cardinales ( $|A| + |B| =|A \cup B|$ ) y por recursión ( $a+S(b) = S(a+b)$ )?

Question

En Peterson, Theory of Arithmetic ( disponible en Archive.org) la suma de números enteros se define de la siguiente manera.

Si $A$ y $B$ son conjuntos disjuntos, y si $a$ es el número cardinal de $A$ y $b$ es el número cardinal de $B$ entonces $a + b$ es el número cardinal de $A\cup B$ .

En teoría de conjuntos, la suma de números naturales se define de la siguiente manera:

1. $a+0=a$
2. $a+S(b) = S(a+b)$ .

¿Qué relación existe entre estas dos definiciones? ¿Hay que considerar que se definen dos operaciones diferentes? ¿O se trata de dos formas distintas de definir la misma operación?

Answer 1

En la teoría de conjuntos, los números naturales desempeñan dos papeles diferentes:

1. Cardenales.
2. Ordinales.

Esto se debe a una propiedad peculiar: existe esencialmente una única forma de ordenar bien (o, de hecho, de ordenar linealmente) un conjunto finito. Y esto se vuelve flagrantemente falso para los conjuntos infinitos (al menos los que se pueden ordenar bien).

La aritmética de los cardinales es muy incompatible con la aritmética de los ordinales, salvo en el caso finito. Por ejemplo, la aritmética ordinal no es conmutativa, mientras que la aritmética cardinal sí lo es.

Esto significa que podemos definir la aritmética de los números naturales de dos formas: tratarlos como cardinales, que es la primera forma que presentas; o tratarlos como ordinales, que es la segunda forma que presentas.

Ambos métodos son equivalentes, y podemos demostrar que suponiendo que uno de ellos sea válido, el segundo también lo es. Así que en realidad se trata de lo que te convenga en cada momento. Tiene sentido conceptual, especialmente si vas a hablar de inducción, definir la suma en sentido ordinal. Pero al mismo tiempo, es posible que desee tener una definición que es libre de inducción.

Por supuesto, una vez que te alejas de la teoría de conjuntos, los números naturales tienden a dejar de ser conjuntos, y entonces pasar por la aritmética cardinal se vuelve muy enrevesado e innecesario (por no mencionar que en algunos de estos contextos ya se da la suma). Y por otro lado, la fundamentación de los números naturales (o lo que es lo mismo: la susceptibilidad de los números naturales a los argumentos basados en la inducción) es una propiedad esencial de los mismos, lo que hace que la definición ordinal sea mucho más fácil de implementar.

Answer 2

Se desea que la cardinalidad sea una medida sobre conjuntos y, para conjuntos finitos, que el resultado de la medida sea un número natural. Para ello, podemos definir la medida de la unión disjunta para que obedezca las reglas de la suma de números naturales, o definir la suma de números naturales para que obedezca las reglas que hacen de la cardinalidad una medida.