Convergencia uniforme de la serie de $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\frac{1}{nx}$ $(0,+\infty)$

Question

¿La serie $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\frac{1}{nx}$$ convergen uniformemente en $(0,+\infty)$? En primer lugar, supuse que no, pero Abel prueba no es aplicable aquí, porque $\sin\frac{1}{nx}$ no es monotónica, otras herramientas que no parecen ayudar a cualquiera. Ahora creo que no hay convergencia uniforme, pero no puedo demostrarlo así. Cualquier idea se agradece.

Answer 1

Aquí es una prueba de que hay no hay convergencia uniforme.

Para cualquier entero $s$ divisible por $2^t$, pero no por $2^{t+1}$, permítanme indicar $\tau(s)=s/2^t$. Ahora considere suficientemente grandes entero $m=4u$. Yo denotar $g(m)=\tau(m+1)\cdot\ldots\cdot\tau(2m)$$\xi(m)=2g(m)+ \pi m/2$, y también $$\alpha_n(m)=(-1)^{n+1}\sin\frac{\xi(m)}{n}.$$ I claim that $\sum_{n=m+1}^{2m}\alpha_n(m)/n>1/8$, lo que implicaría la falta de convergencia uniforme.

Tenga en cuenta que, para cualquier extraño $\mu\in\{m,\ldots,2m\}$, el número de $2g(m)/\mu$ es un entero par, por lo que el $\alpha_\mu(m)=\sin(\pi m/(2\mu))\geqslant\sin(\pi/4)>0.7$. Del mismo modo, si $\mu$ divide a los dos, pero no cuatro, $2g(m)/\mu$ es un entero impar, y de nuevo $\alpha_\mu(m)>0.7$. Trivialmente, $\alpha_\mu(\mu)\geqslant-1$ en los demás casos.

Así tenemos, por cualquier $v\in\{m/4,\ldots,m/2\}$, que $$\sigma_v:=\sum_{n=4v-3}^{4v}\alpha_n(m)/n>\frac{0.7}{4v-3}+\frac{0.7}{4v-2}+\frac{0.7}{4v-1}-\frac{1}{4v}>\frac{2.1}{4v}-\frac{1}{4v}>\frac{1}{4v}.$$ Therefore, $$\sum_{n=m}^{2m}\alpha_n(m)/n=\sum_{v=u+1}^{2u}\sigma_v>\sum_{v=u+1}^{2u}\frac{1}{4v}>\frac{1}{8}.$$

Answer 2

este es un suplente de la serie, y por un fijo de x, podemos encontrar un No como $\frac{1}{n*x}$ es siempre menor que pi/2 (quiero la monotonía del pecado), si n>=No.

Así que si se escribe el término general $(-1)^\left(n+1\right)*Vn(x)$, tenemos:

(Vn(x)) disminuye, Vn(x)-->0, cuando n -> ∞, por lo que el teorema sobre el resto de los suplentes de la serie puede ser usado aquí:

El resto verificar: |Rn(x)| ~ |Vn(x)|, con Rn(x) = $\sum_{k=n+1}^\infty Vk(x)$

De modo que |Rn(x)| ~ $\frac{1}{x*n^2}$ , con la desigualdad : |Rn(x)| =< $|V_n(x)|$ =< $\frac{1}{x*n^2}$

Así que usted tiene la convergencia uniforme en todos los intervalos del tipo [A,+∞ [, pero no en [0;+∞[