Hace un par de años, me quedé asombrado y encantado al enterarme de la existencia de Mesas Laver una secuencia (indexada en $n$ ) de tablas tipo Cayley para una operación binaria $\star$ sobre números $i,j\leq 2^n$ que satisfaga $p\star 1\stackrel{\text{def}}{=}p+1\bmod 2^n$ y $p\star (q\star r)\stackrel{\text{def}}{=}(p\star q)\star(p\star r)$ . Como se indica en la página de Wikipedia, estos tienen conexiones con incrustaciones elementales de cardinales (y aparentemente algunas conexiones con representaciones de grupos de trenzas también, aunque sé menos sobre eso).
En concreto, se sabe que la "fila" superior de la tabla -la lista de entradas $1\star q$ - es periódica para cada $n$ con período $2^k$ para algunos $k\lt n$ . Es relativamente sencillo demostrar que esta secuencia de periodos no es decreciente (las tablas más grandes se proyectan sobre las más pequeñas). Todas las tablas que se han calculado tienen período 16 o menos, y se sabe que la más pequeña $n$ (si lo hay) con un periodo superior a 16 es titánico. Por otro lado, la página de Wikipedia señala que se "sabe" que la secuencia de periodos es ilimitada, ¡pero sólo bajo el supuesto de una de las hipótesis de gran cardinalidad más sólidas que se conocen!
Es sobre este último resultado sobre el que espero una actualización; ¿se sabe algo "nuevo" sobre la ilimitación de la sucesión de períodos? ¿Se ha demostrado que se cumple incondicionalmente? Si no es así, ¿hay algún límite superior o inferior revisado sobre la hipótesis necesaria para la ilimitación? He visto el resultado de Dehornoy de que la ilimitación no puede demostrarse en la PRA, pero ¿se ha demostrado ya independientemente de la propia PA (o incluso de la ZFC, por ejemplo, necesitando alguna hipótesis de gran cardinalidad)?
