Cómo integrar $\int_{l1}^{l2}\frac{e^{\pm i a x}}{\sqrt{bx^2+cx+d}}dx$

Question

Tengo la integral mencionada

$$ \int_{l_1}^{l_2}\frac{e^{\pm i a x}}{\sqrt{bx^2+cx+d}}dx $$

que quiero resolver. Espero que algunas funciones especiales en su solución, pero hasta ahora estoy sin ideas ahora.

He probado lo siguiente:

Sustituyo $t=\sqrt{bx^2+cx+d}$ y obtener una expresión para $x$ que puedo insertar en el exponencial:

$$ t=\sqrt{bx^2+cx+d} $$ $$ \frac{t^2}{b}=x^2+\frac{c}{b}x+\frac{d}{b}=\left (x+\frac{c}{2b}\right )^2 + \frac{d}{b} - \left (\frac{c}{2b}\right )^2 $$ $$ \sqrt{\frac{t^2}{b}-\frac{d}{b} + \left (\frac{c}{2b}\right )^2}-\frac{c}{2b}=x $$

La derivada de la sustitución t es:

$$ \frac{dt}{dx}=\frac{2bx+c}{2\sqrt{bx^2+cx+d}}=\frac{2bx+c}{2t} $$ insertando todo en la integral se obtiene

$$\int_{t(l_1)}^{t(l_2)}\frac{e^{\pm i a \left( \sqrt{\frac{t^2}{b}-\frac{d}{b} + \left (\frac{c}{2b}\right )^2}-\frac{c}{2b} \right )}}{t}\frac{2t}{2bx+c}dt=2 \int_{t(l_1)}^{t(l_2)}\frac{e^{\pm i a \left( \sqrt{\frac{t^2}{b}-\frac{d}{b} + \left (\frac{c}{2b}\right )^2}-\frac{c}{2b} \right )}}{2b\left ( \sqrt{\frac{t^2}{b}-\frac{d}{b} + \left (\frac{c}{2b}\right )^2}-\frac{c}{2b}\right ) + c}dt $$ Esto parece casi una integral exponencial. Yo esperaría una solución que implicara este tipo de integral, pero aquí es donde estoy atascado ahora mismo. ¿Es posible dar una solución de forma cerrada que implique funciones especiales?

Answer 1

Demasiado largo para un comentario (trabajo en curso) $$ \int \frac{\mathrm{e}^{\pm iax}}{\sqrt{bx^2+cx+d}}dx $$ Centrarse en el denominador $$ b\left(x^2+\frac{c}{b}x+\frac{d}{b}\right) =b\left[\left(x+\frac{c}{2b}\right)^2+\frac{d}{b}-\left(\frac{c}{2b}\right)^2\right] $$ cambiar variables $$ t = \frac{x+\frac{c}{2b}}{\sqrt{\left(\frac{c}{2b}\right)^2-\frac{d}{b}}}\implies x = -\frac{c}{2b} + \left(\sqrt{\left(\frac{c}{2b}\right)^2-\frac{d}{b}}\right) t $$ conduce a $$ b\left(x^2+\frac{c}{b}x+\frac{d}{b}\right) = b\left[\left(\frac{c}{2b}\right)^2-\frac{d}{b}\right]\left(t^2-1\right) $$ por lo tanto tenemos $$ \left(\sqrt{\left(\frac{c}{2b}\right)^2-\frac{d}{b}}\right)\int \frac{\mathrm{e}^{\pm ia\left(-\frac{c}{2b} + \left(\sqrt{\left(\frac{c}{2b}\right)^2-\frac{d}{b}}\right) t\right)}}{\sqrt{b\left[\left(\frac{c}{2b}\right)^2-\frac{d}{b}\right]\left(t^2-1\right)}}dt $$ deje $t=\cosh \theta$ tenemos $$ t^2-1 = \sinh^2 \theta\\ dt = \sinh \theta d\theta $$ así obtenemos $$ \frac{\mathrm{e}^{\mp i\frac{ac}{2b}}}{\sqrt{b}}\int_{\bar{l_1}}^{\bar{l_2}} \mathrm{e}^{\pm i\lambda_1\cosh \theta}d\theta $$ donde $$ \lambda_1 = a\left[-\frac{c}{2b} + \sqrt{\left(\frac{c}{2b}\right)^2-\frac{d}{b}}\right] $$

Todavía estoy trabajando en la última parte integral.