Aproximación de una función de pinza utilizando sólo sumas, multiplicaciones, divisiones y restas.

Question

Intento construir una función que satisfaga lo siguiente:

$$ \begin{align} f(x) = 0 & \qquad x \leq 0\\ f(x) = x & \qquad 0 \lt x \lt 1\\ f(x) = 1 & \qquad x \geq 1\\ \end{align} $$

Lamentablemente, sólo dispongo de los operadores más básicos: + - / *. También tengo operadores de agrupación ().

He conseguido acercarme utilizando la función Butterworth:

$$f(x) = \frac{x}{1+\frac{2x-1}{1}+\frac{2x-1}{1}+\frac{2x-1}{1}+…}$$

Esto satisface (aproximadamente) mis dos primeras condiciones, pero no la tercera. Estoy seguro de que hay una manera de modificar esta función para satisfacer los tres, pero no tengo las habilidades.

EDITAR:

Me gustaría poder manejar el rango de -600 < x < 120. Para la precisión, no tengo un objetivo definido. Tal vez para empezar si f(x) podría ser <0.01 cuando x < -0.01 y f(x) podría ser >0.99 cuando x > 1.01 ? Sé que una mayor precisión se traducirá en una expresión más larga, así que si entiendo cómo construir la expresión puedo experimentar para encontrar un equilibrio adecuado entre brevedad y precisión.

Si facilita la lectura de la respuesta, no dudes en incluir la exponenciación por un valor constante . No tengo acceso a ninguna operación exponencial, pero yo mismo puedo convertirlas fácilmente en multiplicaciones repetidas siempre que el exponente sea constante.

Answer 1

Su función puede aproximarse mediante dos funciones de rampa desplazadas, como $$ \eqalign{ & f(x) = x\,H(x) - \left( {x - 1} \right)\,H(x - 1) \approx \cr & \approx {x \over 2}\left( {1 + {x \over {\sqrt {x^{\,2} + \varepsilon ^{\,2} } }}} \right) - {{\left( {x - 1} \right)} \over 2}\left( {1 + {{\left( {x - 1} \right)} \over {\sqrt {{\left( {x - 1} \right)}^{\,2} + \varepsilon ^{\,2} } }}} \right) \cr} $$ donde
$H(x)$ denota la función escalón de Heaviside;
$\varepsilon <<1$ es un valor pequeño.

En cuanto a la raíz cuadrada, se puede calcular recursivamente mediante la famosa Método babilónico

Este es un ejemplo de lo que se consigue con $\varepsilon = 0.1$ .

Está claro que operando alrededor de la función simétrica $ x-1/2 \to y-1/2$ se pueden reducir los cálculos casi a la mitad.

Answer 2

Lo comentaría si fuera un privilegiado.

Ten en cuenta que la función que quieres construir sólo es analítica a trozos. Tal vez usted puede obtener esta función como el límite de alguna secuencia de funciones, que es presumiblemente el ejercicio aquí, dadas las etiquetas de la pregunta.

Sospecho que no habrá ninguna serie cerrada que represente la función dada.