¿Cuál es exactamente el único Sylow $3$ -Subgrupo de $D_3$ ?

Question

Puedo aplicar el teorema necesario para llegar al hecho de que sólo tiene un Sylow $3$ -Subgrupo pero no se como encontrar exactamente cual es. Tengo la tabla de multiplicar calculada por lo que la ayuda en lo que respecta el uso de la tabla específicamente sería beneficioso.

Answer 1

Encontrar un subgrupo de orden $3$ . Este es un subgrupo Sylow. Como has dicho, sólo hay uno. Está generado por un elemento de orden $3$ . Encuentra dicho elemento.

Answer 2

Hay exactamente un grupo de orden tres hasta isomorfismo. Dado que $3$ es primo, $3\mid 6$ y $6$ es el orden de $D_3$ el Teorema de Cauchy nos da al menos un elemento $r$ de $D_3$ de orden tres. Se deduce entonces que su subgrupo es $\{e, r, r^2\}$ .

Answer 3

En realidad, como alternativa a las otras respuestas, tenga en cuenta que $D_3\cong S_3$ . Dado que el Sylow $3$ subgrupo tiene orden $3$ y $(123)$ tiene orden $3$ es $\langle (123)\rangle$ .

Este debe ser, bajo un isomorfismo, el mismo que el subgrupo generado por una rotación a través de $2\pi/3$ . A saber $\langle r\rangle=\{e,r,r^2\}$ .