Hallar la expansión en serie de Taylor del cuadrado de una función racional de variable compleja

Question

He estado intentando encontrar la expansión en serie de Taylor de la siguiente función: $$ f(z)=\left ( \frac{1+z}{1-z} \right )^2 $$ az el origen : Z0 = 0. También me gustaría encontrar la región de convergencia.

El problema que estoy teniendo es que para encontrar los coeficientes debo diferenciar esta función, y bueno no he podido encontrar la fórmula general para la derivada. El segundo camino evaluando la integral de línea tampoco me llevó a ningún lado (usando el Teorema Integral de Cauchy).

Este problema es del libro Mathematical Methods for Electrical Engineering de Thomas B.A. Senior (página 183).

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Utilizando la manipulación algebraica y la serie geométrica se obtiene $$ \left(\frac{1+z}{1-z}\right)^2 = \frac{(1+z)^2}{(1-z)^2}=\frac{1+2z+z^2}{1-z)^2}=\frac{1-2z+z^2 + 4z}{(1-z)^2} = 1+ \frac{4z}{(1-z)^2}$$ $$=1 + 4z\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{1-z}\right) =1 + 4z\frac{d}{dz}\left(\sum_{k=0}^{\infty}z^{k}\right) =1 + 4z\sum_{k=1}^{\infty}kz^{k-1} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty}4kz^k $$ Esto significa que los coeficientes de Taylor $a_k$ para $f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kz^k$ son $$a_0=1, \quad a_k=4k \quad \text{for}\quad k>0$$ Por la prueba de la relación, la última serie converge si $|z|<1.$

Answer 2

Tenga en cuenta que $\left(\frac{1+ z}{1- z}\right)^2$ está definida en todas partes excepto en z= 1. Como el "centro" es z= 0, el radio de convergencia es obviamente 1.