Valor de expectativa de vacío y los mínimos del potencial

Question

A menudo, en la teoría cuántica de campos, se oye utilizar el término "valor de expectativa del vacío" para referirse al mínimo del potencial $V(\phi )$ en el Lagrangiano (estoy bastante seguro de que todas las fuentes que he visto que explican el mecanismo de Higgs utilizan esta terminología).

Sin embargo, a priori, parecería que el término "valor de expectativa del vacío" (de un campo $\phi$ ) debe hacer referencia a $\langle 0|\phi |0\rangle$ donde $|0\rangle$ es el vacío físico de la teoría (signifique lo que signifique; véase mi otra pregunta ).

¿Cuál es la prueba de que ambos coinciden?

Answer 1

Tenemos el funcional de la fuente externa $J$ que nos da v.e.v.s de operadores de campo, por diferenciación funcional: $$e^{-iE[J]} = \int {\cal{D}}\phi\, e^{iS[\phi]+iJ\phi} $$ $$\phi_{cl}=\langle\phi\rangle_J = -\frac{\delta E}{\delta J}$$ Dónde $\langle\phi\rangle_J$ es el v.e.v de $\phi$ en presencia de una fuente externa $J$ . Esto podría considerarse como una "respuesta" visible del sistema sobre la fuente y suele denotarse como una nueva variable, denominada "campo clásico". Nos gustaría encontrarlo cuando no hay fuentes externas: $J=0$ .
Para ello, se hace lo siguiente Transformada de Legendre truco, llegando a la acción eficaz : $$\Gamma[\phi_{cl}] = - E - J\phi_{cl}\quad\quad\frac{\delta\,\Gamma}{\delta \phi_{cl}} = - J$$ Recordando nuestro objetivo de encontrar $\phi_{cl}$ en $J=0$ llegamos a la ecuación. $$\frac{\delta\,\Gamma}{\delta \phi_{cl}} = 0$$ Añadiendo un supuesto adicional de que $\phi_{cl}$ es independiente del espacio y del tiempo: $\phi_{cl}(x) = v$ la acción efectiva funcional $\Gamma[\phi_{cl}]$ se reduce entonces al potencial efectivo $V_{eff}(v)$ y la ecuación se convierte en. $$\frac{dV_{eff}}{dv} = 0$$ Ahora, como David Vercauteren señaló correctamente, $V_{eff}(v)$ no es la misma función que $V(\phi)$ . Pero normalmente es una buena primera aproximación, porque solemos considerar sistemas en los que el campo cuántico "real" fluctúa débilmente alrededor de su vacío: $\phi(x)=v+\eta(x)$ con $\eta$ ser pequeño.

Answer 2

No coinciden exactamente. En la teoría de perturbaciones, el vev $\langle 0|\phi|0\rangle$ es igual al valor de $\phi$ al mínimo de $V(\phi)$ a la orden . El valor exacto del vev es igual a este valor-mínimo más las correcciones perturbativas (y a veces también no perturbativas). Decir que coinciden es sólo una aproximación de primer orden.