Encontrar los conjugados, ¿por qué pueden argumentar así?(ejercicio)

Question

En un ejercicio debo encontrar el conjugado de $\sqrt{2}+i$ en $\mathbb{Q}$ .

Encontré la respuesta buscando irr $( \sqrt{2}+i,\mathbb{Q})$ y luego resolver el polinomio encontrando todas las raíces (esta es la definición de conjugados), esto dio la respuesta correcta, pero en el manual de soluciones, utilizan un truco que no entiendo.

Eso dicen:

Los conjugados son $\sqrt{2}+i,\sqrt{2}-i,-\sqrt{2}+i,-\sqrt{2}-i$ . Esto está claro porque $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+i)=(\mathbb{Q}(\sqrt{2}))(i)$ .

¿Puede alguien decir cómo esto es claro y por qué se deduce del hecho de que: $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+i)=(\mathbb{Q}(\sqrt{2}))(i)$ ?

Answer 1

Por lo que mencionas en tus comentarios, los conjugados de $(\sqrt{2}+i)$ puede calcularse si conocemos la imagen de $(\sqrt{2}+i)$ bajo cada homomorfismo $$ \varphi : \mathbb{Q}(\sqrt{2}+i) \to \overline{\mathbb{Q}} $$ Desde $$ \mathbb{Q}(\sqrt{2}+i) = \mathbb{Q}(\sqrt{2})(i) $$ necesitamos determinar $\varphi(i)$ y $\varphi(\sqrt{2})$ . Sin embargo, dado que $\varphi$ es un homomorfismo de campo $$ \varphi(\sqrt{2})^2 = \varphi(2) = 2 $$ ya que cualquier homomorfismo de campo debe fijar $\mathbb{Q}$ (esto requiere una prueba breve). Sin embargo, $2$ tiene exactamente 2 raíces cuadradas en $\overline{\mathbb{Q}} \subset \mathbb{C}$ Así que $$ \varphi(\sqrt{2}) = \pm \sqrt{2} $$ Del mismo modo, $$ \varphi(i) = \pm i $$ por lo que la lista de posibles conjugados es $$ \{\pm\sqrt{2}\pm i\} $$ Para demostrar que cada uno de ellos es, de hecho, un conjugado de $(\sqrt{2}+i)$ se necesita el hecho de que el número de tales homomorfismos es precisamente igual al grado $$ [\mathbb{Q}(\sqrt{2}+i):\mathbb{Q}] $$ Mi respuesta ya es bastante larga, así que dime si te sirve de ayuda y si tienes alguna pregunta.

Answer 2

Sea $F=\mathbb Q(\sqrt2+i)$ . Si cuadras $\sqrt{2}+i$ obtienes $1+2\sqrt2i$ . Así $\sqrt{2}i\in F$ . Multiplíquelo por $\sqrt2+i$ y obtienes $2i-\sqrt2\in F$ . Añada $\sqrt2+i$ y obtienes $3i\in F$ así $i\in F$ . Así, restando $i$ de $\sqrt{2}+i$ obtienes $\sqrt2\in F$ .

Así, tanto $i$ y $\sqrt2$ están en $\mathbb Q(\sqrt2+i)$