¿Propiedades del conjunto de Mandelbrot, accesibles sin conocimientos de topología?

Question

¿Existe alguna propiedad del conjunto de Mandelbrot que pueda analizarse sin tener conocimientos de topología complicada?

Teniendo en cuenta que el conjunto se basa en una función cuadrática, ¿hay alguna propiedad interesante del conjunto que se pueda demostrar utilizando el álgebra o una geometría relativamente sencilla? Si las hay, ¿cuáles son esas propiedades?

Answer 1

Hay una serie de propiedades del conjunto de Mandelbrot que se pueden entender sin tener muchos conocimientos matemáticos más allá del álgebra básica. Enumeraré y explicaré algunas de ellas, y proporcionaré referencias para un estudio más profundo. Sin embargo, primero intentaré explicar por qué estos intentos suelen ser inútiles.

Parte de lo que hace que el Mandelbrot sea tan increíblemente famoso es el hecho de que las propiedades simples del mapa iterado no lineal más sencillo posible: $$f_c: z \mapsto z^2+c$$ puede producir una estructura tan increíblemente complicada que no sólo requiere herramientas matemáticas sofisticadas para entenderla, sino que ni siquiera se entiende muy bien todavía.

El conjunto tiene dos definiciones equivalentes, ambas relacionadas con lo mismo pero de forma diferente. Una es que $M$ consiste en esos valores $c$ tal que $f_c^n(0)$ permanece acotado como $n \to \infty$ Esta definición tiene sentido y puede ser muy útil para varias cosas. La otra definición, equivalente, es que $M$ consiste en esos valores $c$ tal que $J(f_c)$ el conjunto Julia para el mapa $f_c$ está conectado. Incluso demostrar que estas dos definiciones son equivalentes, aunque no es "difícil" per se, requiere algunos resultados elementales, aunque no necesariamente obvios, del análisis complejo. Muchas propiedades de $M$ sólo puede derivarse fácilmente de esta segunda condición, (o de la primera demostrando que es equivalente a la segunda, pero eso no cuenta realmente) y la conectividad es, en el fondo, una definición topológica. Muchas caracterizaciones provienen de la prueba de que un conjunto de Julia está conectado o no contiene más que puntos desconectados, y esta dicotomía requiere algo más que simple álgebra. Por lo tanto, sin esto no se puede obtener la verdadera belleza de esta bestia, y sin el conocimiento de la teoría de la medida geométrica una serie de resultados increíbles (por ejemplo, la dimensión de Hausdorff de la frontera del conjunto es 2) ni siquiera tienen sentido.

Así que, en última instancia, sí, el conjunto de Mandelbrot parte de un problema muy simple, pero requiere un conjunto sofisticado de herramientas para entenderlo completamente.

Dicho esto, hay una serie de resultados que son ciertamente accesibles sin topología ni análisis complejos. El primero de los cuales fue referido en los comentarios, que $M$ está limitada por el círculo de radio 2.

Esto es bastante fácil de demostrar, aunque no es del todo "trivial". Sin duda, deberías ser capaz de conseguirlo por ti mismo si no lo has hecho ya. Simplemente piense en dónde $f_c$ envía $0$ después de la primera iteración.

Pero no te detengas ahí. Hay muchas otras cosas geométricas geniales en $M$ que no requieren una maquinaria especialmente complicada. Por ejemplo: si se lee un poco sobre diagramas de bifurcación , específicamente para $x^2 +c$ con $c \in \Bbb{R}$ entenderás un poco la teoría del caos y comprenderás este diagrama:

Pero esta es exactamente la misma función que genera el conjunto de Mandelbrot. Así que si miras el eje real negativo de M deberías ver una sorprendente similitud:

Y este conocimiento de, al menos, parte de la estructura del conjunto de Mandelbrot proviene únicamente del estudio de un sistema dinámico muy simple, que se puede analizar utilizando únicamente álgebra y quizás un poco de cálculo. Entender completamente la teoría de la bifurcación requiere mucho trabajo, pero no es necesario para entender esta simple conexión.

Pero al final, la comprensión $M$ requiere muchos requisitos previos, mientras que la observación de sus fascinantes propiedades no requiere más que un ordenador y curiosidad. Tal vez la fascinación por algún aspecto del fractal te lleve a aprender matemáticas exigentes para desarrollar una comprensión más profunda.

Un libro para profundizar en la lectura orientado a estudiantes que no tienen más que un nivel de educación matemática de secundaria sería La belleza computacional de la naturaleza por Flake en el que se tratan muchos temas tangenciales y relacionados con el estudio de los fractales.

Answer 2

¿Sabe usted acerca de Puntos Misiurewicz ? Son raíces de polinomios en el límite del conjunto M. Aquí hay un Pregunta con una discusión sobre ellos junto con un gráfico y un sencillo código de Mathematica para calcularlos.