Dada una implicación verdadera y una inversa falsa, ¿cuál es el valor de verdad de P↔¬Q?

Question

He aquí la cuestión:

Supongamos de nuevo que la afirmación "si el cuadrado es azul, entonces el triángulo es verde" es cierta. Esta vez, sin embargo, supongamos que lo contrario es falso. Clasifica cada una de las afirmaciones siguientes como verdadera o falsa (si es posible).

b. El cuadrado es azul si y sólo si el triángulo no es verde.

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La respuesta correcta es verdad, pero no veo cómo puede ser así. Este es mi proceso de pensamiento:

La afirmación es una bicondicional y puede dividirse en dos partes.

1. El cuadrado es azul si el triángulo no es verde (Si el triángulo no es verde, entonces el cuadrado es azul).
2. El cuadrado es azul sólo si el triángulo no es verde (si el cuadrado es azul, entonces el triángulo no es verde).

Estas dos afirmaciones van en contra de la implicación original de la pregunta. ¿Cómo puede el cuadrado ser azul y al mismo tiempo ser verde y no verde? Mi conclusión es que la afirmación es falsa. ¿Hay algún fallo en mi deducción?

Answer 1

Te estás topando con el Paradoja de la implicación material . En efecto, se podría pensar que las declaraciones:

"si el cuadrado es azul, entonces el triángulo es verde"

y:

"si el cuadrado es azul, entonces el triángulo no es verde"

no pueden ser ambas verdaderas, pero recuerde que el condicional lógico (material) tiene la característica poco intuitiva de que en cuanto el antecedente es falso, todo el condicional es automáticamente verdadero. Por tanto, si el cuadrado no es azul, ambas afirmaciones son verdaderas. Por tanto, estas afirmaciones no son contrarias entre sí.

De hecho, si suponemos que las dos afirmaciones son ciertas, está claro que el cuadrado no puede ser azul, porque de lo contrario el triángulo sería tanto verde como no verde. Por tanto, sabemos que el cuadrado no es azul.

Aún más directo: se nos dice lo contrario de:

"si el cuadrado es azul, entonces el triángulo es verde"

es falso. Lo contrario es:

"si el triángulo es verde, entonces el cuadrado es azul"

y para que sea falso el triángulo tiene que ser verde, y el cuadrado no tiene que ser azul (de nuevo, es un poco contraintuitivo, pero el condicional material sólo puede ser falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso). Con eso, inmediatamente se puede averiguar el valor de verdad de:

"El cuadrado es azul si y sólo si el triángulo es verde"

Answer 2

Este enfoque de tabla de verdad puede ser útil:

Observe que la tercera fila cuenta la historia cuando $P\implies Q$ es verdadera y $Q \implies P$ es falsa, donde la cuarta columna desde la izquierda es la "y lógica" de las afirmaciones, que sólo es verdadera para la fila 3.

Comparando con la bicondicional de la tercera fila (representada en las cuatro últimas columnas, con el resultado en la tercera columna de la derecha bajo el signo $\iff$ símbolo), se ve que también debe ser cierto.

Espero que esto ayude.

Answer 3

Puedes comprobarlo utilizando la tabla de verdad. Observe que "Si P entonces Q" es equivalente a " $\neg P \lor Q$ ". Utilizando B y G para representar "El cuadrado es azul" y "El triángulo es verde", respectivamente, concluirá que "B" es Falso y "G" es Verdadero para el contexto de su pregunta.

\begin{array}{cccccc} B & G & \neg B & \neg G& \neg B \lor G & \neg G \lor B \\ \hline F&F&T&T&T&T\\ F&T&T&F&T&F\\ T&F&F&T&F&T\\ T&T&F&F&T&T \end{array}

Ahora bien, "El cuadrado es azul si y sólo si el triángulo no es verde" equivale a " $(G\lor B)\land (\neg B\lor \neg G)$ ", que es verdadera según la tabla de verdad.

Answer 4

Lo más sencillo es observar que si la inversa ("Si el triángulo es verde entonces el cuadrado es azul") es falsa la única manera $P\implies Q$ puede ser falso es si $P$ (el triángulo es verde) es verdadera y $Q$ (el cuadrado es azul) es falsa.

Así que el triángulo es verde y el cuadrado no es azul. Es la única opción.

Eso significa que "si el cuadrado es azul entonces el triángulo es verde" es cierto (porque $F\implies T$ es verdadero).

.....

Esto también significa que "si el triángulo no es verde, entonces el cuadrado es azul" es cierto (porque $F\implies F$ es verdadero).

Y esto también significa que "si el cuadrado es azul entonces el triángulo no es verde" es cierto (porque $F\implies F$ es verdadero).

Por tanto, "el triángulo no es verde si y sólo si el cuadrado es azul" es cierto.

Ahora has dividido el bicondicional en dos partes:

1. El cuadrado es azul si el triángulo no es verde (Si el triángulo no es verde, entonces el cuadrado es azul).

Y como el triángulo es verde esto está bien. No podemos concluir nada sobre la plaza.

2. El cuadrado es azul sólo si el triángulo no es verde (si el cuadrado es azul, entonces el triángulo no es verde).

Y como el triángulo es verde esto significa que el cuadrado no puede ser azul. Así que debemos concluir que el cuadrado no es azul.

Usted pregunta "¿Cómo puede el cuadrado ser azul, y al mismo tiempo ( el triángulo ) ser verde y no verde?"

Pues no puede.

Así que el cuadrado es no azul.

Answer 5

Desde la falsedad de lo contrario implica que la afirmación original es verdadera basta con considerar que la inversa es falsa, es decir, $$\text{The triangle is green and the square isn't blue.}$$

Como tal, la bicondicional dada $$\text{The square is blue if and only if the triangle is not green.}$$ es vacuamente cierto en ambas direcciones, así que es cierto.