Supongamos que $b = g \cdot a$ . Entonces $gG_a$ es el coset izquierdo de $G_a$ . El mapa $b = g \cdot a \rightarrow gG_a$ es un mapa de $C_a$ al conjunto de cosets izquierdos de $G_a$ en $G$ . Dummit dice que este mapa es suryectivo porque para cualquier $g \in G$ el elemento $g \cdot a$ es un elemento de $C_a$ . Pero no acabo de entenderlo .... ¡Muchas gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Nicky Hekster
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$G_a=\{g \in G: g \cdot a=a\}$ ( $G$ -estabilizador de $a$ ) y $C_a=\{g \cdot a: g \in G\}$ ( $G$ -órbita de $a$ ). Definir un mapa $$f : C_a \rightarrow L:=\{gG_a: g \in G\}$$ por $f(g \cdot a)=gG_a$ . Este mapa es suryectivo, ya que $gG_a \in L$ entonces, obviamente $f(g \cdot a)=gG_a$ . Pero además hay que demostrar que el elemento $g \cdot a$ es independiente del representante del conjunto de la izquierda $g$ . Así que supongamos que $gG_a=hG_a$ . Entonces $h^{-1}g \in G_a$ Así que $(h^{-1}g) \cdot a=a$ lo que implica $g \cdot a= h \cdot a$ . Y ya está. De la misma manera que muestra $f$ es inyectiva. Por lo tanto $\#C_a=\text {index}[G:G_a]$ .
