Grupo fundamental de una fila infinita de círculos

Question

Sea $X$ sea la unión de los círculos $C_n$ con centro en $(n,0)$ y radio $1/2$ para $n \in \mathbb{N}$ . Quiero demostrar que el grupo fundamental de $X$ es un grupo libre con generadores contables. Creo que si $Y=X \cap \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: y\geq 0\}$ entonces $X/Y$ es una suma en cuña de círculos y $\pi(X)$ es isomorfo a $\pi(X/Y)$ . Pero no sé cómo puedo demostrarlo.

¿Puede ayudarme, por favor?

Answer 1

$X$ (con la topología del subespacio en $\mathbb{R}^2$ ) puede tener la estructura de un complejo CW. La dirección $0$ -las células son $(\mathbb{R}\times\{0\})\cap X$ y el $1$ -las células son lo que queda.

El conjunto $Y$ que das es un subcomplejo CW de $X$ . Página 11 de Hatcher's Topología algebraica dice que entonces $X\to X/A$ es una equivalencia homotópica ya que $A$ es contraíble. Como un complejo CW, $X/A$ es una suma en cuña de un número contable de círculos. Se puede ver esto al darse cuenta de que el cociente tiene un único $0$ -celda, y así todos los $1$ -Las celdas deben aportar cada una un sumando de cuña circular.

Es un hecho general que el grupo fundamental de un grafo (es decir, un CW $1$ -) tiene generadores en correspondencia con las aristas en el complemento de un árbol de expansión, que es exactamente lo que $Y$ resulta ser. La sección 1.A del libro de Hatcher contiene más detalles.