demostrar que para cada subconjunto abierto acotado de R, existe el mayor intervalo abierto

Question

Demuestre que si G es un subconjunto abierto acotado de números reales, y si x pertenece a G, entonces existe el mayor intervalo abierto $I_x$ que contenga x tal que $I_x$ es un subconjunto de G.

Sé que todo subconjunto abierto se puede escribir como unión contable de intervalos abiertos mutuamente disjuntos. así que como G es abierto y G es el mayor subconjunto de sí mismo y G contiene a x, entonces existe el mayor intervalo abierto que contiene a x, que es el propio G.
Sé que mi afirmación no es una prueba real. el concepto principal de la pregunta para mí es confuso. Agradecería cualquier idea sobre la prueba para esta pregunta.

Answer 1

Sea $U_1=\{y\in G:[x,y)\subseteq G\}.\ U_1$ no es vacío porque $G$ está abierto. Y como $G$ está limitada, $z:=\sup U_1$ existe y es finito. Ahora, $z\notin U_1$ pero $x\le y<z$ satisface $y\in U_1$ (¿por qué?), por lo que el intervalo $[x,z)$ es máxima.

Establecer $U_2=\{y\in G:(y,x]\subseteq G\}$ repita la configuración del argumento anterior $w=\inf U_2$ .

De ello se deduce que $U=U_1\cup U_2=(w,z)\subseteq G$ es el intervalo abierto máximo que contiene $x$ .

Answer 2

Para $x,y\in \Bbb R$ deje $In[x,y]=[\min(x,y),\max (x,y)].$ Demuestra que $In[x,y]\cup In[x,z]=[\min(x,y,z),\max(x,y,z)]\supset In[y,z]$ para todos $x,y,z\in \Bbb R.$

Cualquier $S\subset \Bbb R$ es un intervalo si $S$ es convexo si $\forall y,z\in S\,(In[y,z]\subset S).$

$(1).$ Sea $I_x=\cup \{In[x,y]: y\in \Bbb R\land In[x,y]\subset G\}.$

Obviamente $I_x\subset G $ y por lo tanto también $I_x$ está limitada.

$(2).$ Para demostrar que $I_x$ es un intervalo:

Tome cualquier $y,z\in I_x$ . Existen $y',z'$ tal que $y\in In[x,y'] \subset G$ y $z\in In[x,z']\subset G.$ Así que $In[x,y']$ y $In[x,z']$ son subconjuntos de $I_x.$

Tenemos $\min(x,y')\le y\le \max (x,y')$ y $\min (x,z') \le z \le \max (x,z'),$ lo que implica $\min(x,y',z') \le \min(y,z)\le \max(y,z) \le \max (x,y',z'),$ así que $$In[y,z]\subset [\min (x,y',z'),\max(x,y',z')]=In[x,y']\cup In[x,z']\subset I_x.$$

$(3).$ Sea $U=\sup I_x$ y $L=\inf I_x,$ que existen porque $I_x\ne \emptyset$ (porque $In[x,x]=\{x\}\subset G$ ) y porque $I_x$ está limitada. Dado que $I_x $ es un intervalo acotado, tenemos $$(L,U)\subset I_x\subset [L,U].$$

Por contradicción, supongamos $U\in G.$ Desde $G$ es abierto, existe $y>U$ tal que $[U,y]\subset G.$ Y tenemos $[x,U)\subset I_x\subset G,$ así que $In[x,y]=[x,y]=[x,U)\cup [U,y]\subset G,$ que implica $[x,y]\subset I_x .$ Pero entonces $\sup I_x\ge y>U=\sup I_x,$ lo cual es absurdo. Por lo tanto $$U\not \in G.$$ Del mismo modo, demostramos que $$L\not \in G.$$ Por lo tanto $$I_x=(L,U).$$ Así que $I_x$ está abierto.

$(4).$ Por último $J$ sea $any$ intervalo tal que $x\in J\subset G.$ Entonces $\sup J\le U,$ de lo contrario $U\in [x,U]\subset [x,\sup J)\subset G,$ que implica $U\in G.$ Del mismo modo $\inf J\ge L.$ Por lo tanto $$J=J\cap G\subset [L,U]\cap G=(L,U)=I_x.$$