¿Por qué la impedancia se representa como un número complejo y no como un vector?

Question

Intento comprender por qué la impedancia no se representa mediante vectores.

Supongo que se debe a que los números complejos tienen la propiedad de que $$j = \sqrt {-1}$$ pero con mis limitados conocimientos no puedo ver cómo esto se relaciona con la impedancia o por qué se desearía esta propiedad. No estoy seguro de qué tiene que ver la reactancia con la raíz cuadrada de \$-1.\$

¿Podría alguien explicarme por qué se utilizan números complejos en lugar de vectores?
Una respuesta intuitiva está bien; no necesito una prueba compleja.

Answer 1

Los números complejos son similares a los vectores, pero tienen algunas propiedades matemáticas adicionales que los hacen útiles. La más notable es el uso de la exponencial compleja \$e^{j\omega t}\$ en lugar de senos y cosenos hace que las ecuaciones diferenciales sean mucho más fáciles de tratar. Así es como se llega a la impedancia compleja en primer lugar:

$$v(t) = A\mathrm e^{\mathrm{j} \omega t + \theta}$$ $$i(t) = B \mathrm e^{\mathrm j \omega t + \phi}$$ $$\frac {v(t)} {i(t)} = Z = \frac A B \mathrm e ^ {\mathrm j (\theta - \phi)}$$

O, en notación fasorial:

$$\hat V = A\angle \theta$$ $$\hat I = B\angle \phi$$ $$\frac {\hat V} {\hat I} = Z = \frac A B \angle (\theta - \phi)$$

Podrías usar algo como la notación vectorial para la magnitud y la fase, pero los vectores no se multiplican y dividen como los números complejos, así que no mejoraría nada.

EDITAR: Números complejos desarrollados para resolver ciertos problemas de álgebra. Si quieres saber más sobre la historia, echa un vistazo al primer capítulo de Visual Complex Analysis, de Tristan Needham. (Puedes leer el avance en Amazon si no tienes una buena biblioteca a mano).

Probablemente el segundo capítulo del libro pueda responder por sí solo a tu pregunta, pero yo también lo intentaré. Los números complejos son, en cierto sentido, cantidades bidimensionales, pero lo que los hace útiles aquí es que también incluyen el concepto de rotación. Multiplicación por \$\sqrt{-1}\$ equivale a una rotación de 90° en un plano 2D:

$$\mathrm i ^ 0 = 1$$ $$\mathrm i ^ 1 = \mathrm i$$ $$\mathrm i ^ 2 = -1$$ $$\mathrm i ^ 3 = -\mathrm i$$ $$\mathrm i ^ 4 = 1$$

Podemos ampliar esto con exponenciales complejos, que nos permiten representar una rotación en cualquier cantidad:

$$\mathrm e^{j\pi/4} \cdot\mathrm e^{j\pi/4} = \mathrm e^{j(\pi/4 + \pi/4)} = \mathrm e ^ {j\pi/2} = \mathrm i$$ $$45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$$

Obsérvese que obtenemos esto haciendo aritmética normal -- multiplicar exponenciales de valor real funciona de la misma manera.

¿Y eso qué importa? Ya podemos representar rotaciones con senos y cosenos, ¿verdad? Pero eso se pone feo en ecuaciones diferenciales, sobre todo porque no se pueden combinar senos y cosenos sumándolos. Por otro lado, la derivada de \$\mathrm e^x\$ es... ella misma. ¡No hay problema!

¿Dónde entra en juego la impedancia? Bien, piensa en la diferencia entre CC y el estado estacionario sinusoidal. En CC, las tensiones en los nodos son valores constantes con diferentes magnitudes. En CA, las tensiones en los nodos son sinusoidales con la misma frecuencia pero diferentes magnitudes. y ángulos de fase . Las relaciones tensión/corriente también cambian. En una resistencia, la tensión y la corriente están en fase. En un inductor o un condensador, hay una diferencia de fase de 90° entre ellos.

Así que ahora el concepto de rotación ("ángulo" de fase) se ha colado en nuestro análisis de circuitos. Podríamos quedarnos en el dominio del tiempo y hacer cosas como ésta:

$$v = L \frac {\mathrm d i} {\mathrm d t}$$ $$V\cos(\omega t) = \omega L\cdot I\cos(\omega t - 90^\circ)$$

O podríamos utilizar números complejos, donde a \$90^\circ\$ rotación sólo significa multiplicar por i (bueno, \$j\$ en nuestro caso -- esto es EE):

$$V\mathrm e^{\mathrm j \omega t} = \mathrm j\omega L \cdot I \mathrm e^{\mathrm j \omega t}$$

La principal ventaja es que todos los \$\mathrm e^{\mathrm j \omega t}\$ los términos se cancelan de las ecuaciones, así que ahora nuestra relación voltaje/corriente es sólo la Ley de Ohm con números complejos:

$$\hat V = \mathrm j \omega L \hat I$$

Si tuviera que resumir todo esto en una frase, diría que los números complejos permiten representar la rotación agrupando la magnitud y la fase por separado de la frecuencia, mientras que los sinusoides agrupan la frecuencia y la fase.

Answer 2

¿Por qué se utilizan números complejos y no vectores?

simplemente porque no hay división vectorial definida en álgebra vectorial, por lo que simplemente no se puede utilizar la ley de Ohm en forma de división, complicando así los cálculos. Por otro lado, el dominio de la matemática de números complejos ha progresado más con el tiempo que su homóloga vectorial, por lo que tienes muchos teoremas a tu disposición para simplificar tu expresión y realizar (fácilmente) el análisis. Por lo tanto, aunque se puede trabajar con álgebra vectorial, es más fácil trabajar con números complejos.

leer más: https://math.stackexchange.com/questions/246594/what-is-vector-division

¿por qué la impedancia se representa como número complejo?

considere el siguiente circuito:

si Q es la carga en el condensador, e i es la corriente, entonces utilizando KVL tendremos

$$R\times i + \frac QC + L\times \frac{di}{dt} = V \dots(1)$$ $$ \implies \frac{d^2i}{dt^2} + \frac RL\times \frac{dQ}{dt} + \frac 1{LC}\times i = 0\dots (2)$$ $$\implies i = Ae^{a_1t}+Be^{a^2t}$$ donde $$a_1, a_2 \in C$$ y las soluciones generales de ecuaciones diferenciales de 2º orden son siempre complejas por naturaleza.

por lo tanto, su i es una expresión compleja y poniendo este valor en la ecuación 1 se obtiene V que también será una expresión compleja. Al dividir V por i obtendremos otra expresión compleja que llamaremos impedancia de este circuito. Como ves, la razón por la que una impedancia es compleja es la matemática.

Ahora, si quieres tener una "sensación" de la impedancia compleja, debes aprender sobre fasores y tener una analogía con eso.

Más información: https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-007-electromagnetic-energy-from-motors-to-lasers-spring-2011/lecture-notes/MIT6_007S11_lec19.pdf

Answer 3

Sólo comentar que se puede representar la impedancia como un matriz :

$$ R + \mathrm j X \leftrightarrow \begin{bmatrix} R & X \\ -X & R \end{bmatrix} $$

De hecho, este es el representación matricial de los números complejos . Por otro lado, las señales sinusoidales (pero no la impedancia) pueden representarse mediante vectores:

$$ x_{\cos} + \mathrm j x_{\sin} \leftrightarrow \begin{bmatrix} x_{\cos} \\ x_{\sin} \end{bmatrix} $$

La suma/resta/escalado de impedancias y sinusoides son, obviamente, las operaciones homónimas sobre matrices y vectores. La admitancia es la matriz inversa de la impedancia:

$$ (R + \mathrm j X)^{-1} \leftrightarrow \begin{bmatrix} R & X \\ -X & R \end{bmatrix}^{-1} = \frac 1 {(R^2 + X^2)} \begin{bmatrix} R & -X \\ X & R \end{bmatrix} $$

Puedes multiplicar matricialmente la impedancia por la corriente o la admitancia por la tensión:

\begin{align} \begin{bmatrix} R & X \\ -X & R \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{\cos} \\ i_{\sin} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} R i_{\cos} + X i_{\sin} \\ R i_{\sin} - X i_{\cos} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} G & B \\ -B & G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{\cos} \\ u_{\sin} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} G u_{\cos} + B u_{\sin} \\ G u_{\sin} - B u_{\cos} \end{bmatrix} \end{align}

La diferencia de fase también es una matriz:

$$ {\mathrm e}^{\mathrm j \varphi} = \cos \varphi + \mathrm j \sin \varphi \leftrightarrow \begin{bmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi \\ -\sin \varphi & \cos \varphi \end{bmatrix} $$

Derivada es simplemente \$ \omega \$ veces un avance de fase de 90 grados:

$$ \mathrm j \omega \leftrightarrow \begin{bmatrix} 0 & \omega \\ -\omega & 0 \end{bmatrix} $$

Con lo que tenemos hasta ahora podemos escribir ecuaciones diferenciales como ecuaciones matriciales

\begin{align} U_0 \cos {\omega t} = u + R C \frac {\mathrm d u} {\mathrm d t} \leftrightarrow \begin{bmatrix} U_0 \\ 0 \end{bmatrix} = ( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + R C \begin{bmatrix} 0 & \omega \\ -\omega & 0 \end{bmatrix} ) \mathbf u = \begin{bmatrix} 1 & R C \omega \\ -R C \omega & 1 \end{bmatrix} \mathbf u \fin

... y resolverlo calculando la matriz inversa de \$ \begin{bmatrix} 1 & R C \omega \\ -R C \omega & 1 \end{bmatrix} \$ y luego multiplicarlo sobre el \$ U_0 \$ vector.

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Como puedes ver, este sistema de notación es bastante verboso y no proporciona una representación intuitiva de la fase y la amplitud (todo está en coordenadas cartesianas esencialmente).

Por cierto, la potencia tiene una representación clara como producto punto vectorial:

$$ \frac 1 2 (u_{\cos} i_{\cos} + u_{\sin} i_{\sin}) = \frac 1 2 {\mathbf i}^{\mathrm T} \mathbf u = \frac 1 2 \begin{bmatrix} i_{\cos} & i_{\sin} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{\cos} \\ u_{\sin} \end{bmatrix} $$

Answer 4

En resumen: se puede visualizar una impedancia como un tipo de vector, pero las matemáticas vectoriales no captan el comportamiento de la impedancia. Los números complejos no son tan atractivos visualmente, en un principio, pero matemáticamente funcionan de manera similar a la función de la impedancia dentro de un circuito.

Esto combina dos conceptos que trataré por separado: cómo se comporta una impedancia compleja y cómo la representa un número complejo.

Mientras que una resistencia sólo cambia la magnitud de una señal absorbiendo energía, una impedancia compleja puede cambiar tanto la magnitud como la fase de la señal. Esto significa que la impedancia puede almacenar energía de la señal y devolverla posteriormente al sistema; esto provoca una respuesta retardada, que en el caso de las señales periódicas puede aparecer como una rotación en cualquier dirección.

Así que el efecto combinado de magnitud y dirección nos lleva de nuevo a tu pregunta: ¿por qué no utilizamos un vector? En general, sí. Los sistemas eléctricos utilizan un concepto similar llamado fasor.

Representa lo que ocurre cuando una señal (corriente I) de cierta frecuencia es empujada a través de una impedancia Z. La corriente parte de una magnitud y una fase (ángulo), que la impedancia modifica por su propia magnitud y fase (rotación). La tensión resultante V es el producto de las magnitudes, girado por la suma de los ángulos.

Los fasores son críticos cuando se trabaja con múltiples fases de potencia; donde cada fasor está rastreando la diferencia entre valores complejos. Para la mayoría de las señales de audio o RF, donde una referencia común es evidente, los fasores V,I,Z colapsan en valores únicos (complejos).

Esto nos lleva a la parte final de la respuesta. Los escalares complejos capturan la misma información que los vectores - magnitud y ángulo - pero no funcionan de la misma forma matemática. Si una frecuencia de RF se describiera como un valor vectorial, el modelado de una impedancia requeriría la multiplicación matricial para capturar los efectos tanto en magnitud como en fase; no serviría ningún tipo de multiplicación vectorial. Los números complejos funcionan de la misma manera que la impedancia, proporcionando la herramienta perfecta para representar tanto el valor como la función de una impedancia.

Answer 5

La parte imaginaria representa la fase o retardo de una onda sinusoidal. Puede representarse por unidades de pi, grados o un número complejo.

Fuente: https://www.mathsisfun.com/algebra/amplitude-period-frequency-phase-shift.html

Un componente eléctrico puede provocar un desfase en una onda sinusoidal (inductores y condensadores lo hacen). Podemos representar el desplazamiento de fase de un condensador o un inductor como una componente imaginaria y tratarlos como resistencias. Esto simplifica el análisis del circuito.

La propiedad es deseada porque podemos usar matemáticas imaginarias para transportar la información de fase, lo que es mucho más fácil que sumar funciones sin con la fase.