¿Existe un análogo cuántico del teorema de la "raqueta de tenis"?

Question

Un resultado no trivial del estudio de la mecánica clásica de un objeto extendido muestra que la rotación alrededor de un eje cuyo momento de inercia se encuentra entre los ejes de momento de inercia mayor y menor es inestable. Esto se conoce como el teorema de la "raqueta de tenis", como se describe en la página de Wikipedia. En esencia, hay dos ejes alrededor de los cuales es fácil/estable girar, y uno que es inestable.

La idea básica del teorema de la raqueta de tenis tiene poco que ver con la gravedad o la resistencia del aire, pero es una afirmación sobre la sensibilidad del eje de rotación resultante al eje del par inicial. En YouTube se pueden encontrar vídeos muy buenos que demuestran este concepto. Por ejemplo éste .

Mi pregunta es la siguiente: ¿existe un análogo cuántico del efecto raqueta de tenis? . Si lo hay, supongo que este teorema tendría alguna relevancia para la física de las moléculas y sus propiedades rotacionales, quizás incluso su interacción con la luz en, digamos, pinzas ópticas.

Answer 1

La cuestión es si el rotor rígido cuántico sin simetría axial muestra algún resto del teorema del eje intermedio ("raqueta de tenis"). Cabe esperar que en el límite semiclásico (gran energía de excitación) la respuesta sea afirmativa.

De hecho, el problema se ha estudiado en física nuclear y molecular. Se puede encontrar una buena discusión en el apartado 4.5 del volumen II de Bohr & Motelson, Nuclear Structure.

A baja energía de excitación no queda ningún remanente del teorema del eje intermedio. El espectro es discreto, y los estados sólo pueden ser etiquetados por simetrías discretas (no hay simetría continua, no podemos diagonalizar simultáneamente cualquier $L_i$ y $H$ y no hay ningún sentido en el que el sistema esté girando alrededor de un eje fijo).

En el límite semiclásico buscamos trayectorias Regge, eigenavlues de energía aproximadamente continuas que se aproximan a la energía clásica. Si existe una $L_i$ está claro cómo hacerlo. El espectro es de la forma $l(l+1)$ que es analítica en $l$ y se aproxima al resultado clásico $l^2$ . Sin un $L_i$ no está del todo claro cómo proceder. B & M sugieren el siguiente procedimiento. Trabajar en una base en la que el valor propio $I$ de $L_i$ a lo largo de un eje principal dado es fijo. Estudiar el Hamiltoniano en el $I$ y hallar la dependencia analítica de las energías en $I$ . Para los ejes de momento de inercia mayor y menor, esto conduce al espectro esperado. Para los ejes intermedios no existen estados rotacionales cuasiclásicos. Esto tiene un sentido intuitivo para mí: Si intento inicializar el sistema en un estado cuasiclásico de eje intermedio, obtengo una combinación lineal de estados de eje mínimo/máximo, que conducirá a una versión cuasiclásica de volteo.

Answer 2

Thomas tiene razón; el teorema de la raqueta de tenis no puede demostrarse en mecánica cuántica.

Así, las ecuaciones de Euler dicen que, sin aplicar un par a un objeto, la tasa de cambio del momento angular alrededor de un eje principal de un cuerpo es directamente proporcional al producto del momento angular alrededor de los otros dos ejes. El teorema del eje intermedio se demuestra afirmando primero que el momento angular alrededor de un eje es mucho mayor que el de los otros dos, y luego se pone a trabajar. Esto no funciona en mecánica cuántica, como probablemente sepas, $$\mathbf{L}\times\mathbf{L}=i\hbar\mathbf{L}$$

Por lo tanto, no existe una base en la que se pueda encontrar un estado en el que los tres (o incluso sólo dos) estén bien definidos simultáneamente, por lo que no se puede realizar el análisis necesario. Se pueden construir ecuaciones cuánticas de Euler (véase la ecuación de Casimir). Rotación de un cuerpo rígido en mecánica cuántica ), pero no se puede demostrar el teorema de la raqueta de tenis a partir de ellos.