Continuidad e integrabilidad (Riemann) de una función determinada

Question

Tengo la siguiente función (perdón por el título vago pero no sé si este tipo de función tiene algún nombre especial) definida por:

$$f(x)= \begin{cases} 0 & \text{if } x\in\mathbb R \smallsetminus\mathbb Q, \\[6pt] \frac 1n & \text{if } x=\frac mn\in\mathbb{Q},\,\, \gcd(m,n)=1.\end{cases}$$

primero tengo que demostrar que esta función es continua sólo en los puntos irracionales y veo por qué pero no puedo formalizarlo adecuadamente de forma rigurosa, luego tengo que demostrar que es integrable de Riemann en $[0,1)$ y que dicha integral es $0$ y realmente no sé cómo abordar esto.

Answer 1

Si $x\in\mathbb Q$ y, a continuación, tome una secuencia $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ de números irracionales tales que $\lim_nx_n=x$ . Entonces $\lim_nf(x_n)=0\neq f(x)$ y por lo tanto $f$ no es continua en $x$ .

Si $x\notin\mathbb Q$ entonces $f(x)=0$ . Dado $\varepsilon>0$ sólo hay un número finito de puntos $x\in[0,1]$ tal que $f(x)\geqslant\varepsilon$ . Así pues, tomemos un intervalo $(x-\delta,x+\delta)$ tan pequeño que no contenga tal número. Esto asegura que $|y-x|<\delta\Longrightarrow|f(y)-f(x)|=|f(y)|<\varepsilon$ .

Dado $\varepsilon>0$ y dada y partición $P$ de $[0,1]$ cada suma inferior $\underline\Sigma(f,P)$ es igual a $0$ . Si demuestras que existe una suma superior $\overline\Sigma(f,P)$ más pequeño que $\varepsilon$ esto demostrará que la integral de Riemann existe y que es igual a $0$ . Una vez más, esto se sigue del hecho de que sólo hay finitamente muchos puntos $x\in[0,1]$ tal que $f(x)\geqslant\varepsilon$ .