Demostrar la varianza del estimador de la media de un modelo AR(1)

Question

Necesito resolver la prueba como se indica en la captura de pantalla siguiente. He intentado hacer algo (en Mi solución), pero no sé cómo proceder con la prueba. No estoy seguro de si he hecho algo mal o me he equivocado. Por favor, ayúdame a continuar con la prueba. ¡Cualquier ayuda será muy apreciada! Gracias.

Answer 1

Calcular directamente (no es la mejor pregunta de deberes, si es que se trata de eso):

\begin{align*} Var(\bar{Y}) &= Var(\frac{1}{n} \sum_{t=1}^n Y_t) \\ &= \frac{1}{n^2} Var( \sum_{t=1}^n Y_t) \\ &= \frac{1}{n} \gamma(0) + 2 \frac{1}{n} \sum_{h = 1}^{n-h} \frac{n-h}{n} \gamma(h), \end{align*} donde $\gamma(h) = \frac{\beta^h}{1-\beta^2}$ es la función de autocovarianza en el retardo $h$ .

Sustituyendo $\gamma(0) = \frac{1}{1-\beta^2}$ da el primer término de su suma $$ \frac{1}{n} \gamma(0) = \frac{1}{n} \frac{1}{1-\beta^2}. $$

Del mismo modo, \begin{align*} 2 \frac{1}{n} \sum_{h = 1}^{n-h} \frac{n-h}{n} \gamma(h) &= \frac{2}{n^2(1-\beta^2)} \sum_{h=1}^{n-h} (n-h) \beta^h \\ &= \frac{2}{n^2(1-\beta^2)} \sum_{h=1}^{n-h} \sum_{j=1}^{n-h} \beta^j \\ &= \frac{2}{n^2(1-\beta^2)} \sum_{h=1}^{n-h} ( \frac{1-\beta^{n+1-h}}{1-\beta}) \\ &= \frac{2}{n^2(1-\beta^2)(1-\beta)} \sum_{h=1}^{n-h} ( 1-\beta^{n+1-h} )\\ &= \cdots. \end{align*}