Centro de masa de la semiesfera

Question

Nunca he calculado el centro de masa y me gustaría saber cómo puedo hacerlo en la práctica.

Quiero encontrar el centro de masa de una semiesfera. Podría explicarme, paso a paso, lo que tengo que hacer?

Muchas gracias

Answer 1

Calculamos el centro de masa de una media bola de radio $1$ . Sin pérdida de generalidad podemos suponer que la bola está hecha de un material con densidad $1$ .

Imagina que la pelota está sobre una mesa, con la parte plana hacia abajo. Por simetría, el centro de masa se encuentra en la línea vertical que pasa por el centro de la pelota. La única pregunta es: ¿a qué altura?

Calcularemos el momento de la bola alrededor del plano de la mesa, y dividir por la masa de la media bola. Mediante una fórmula estándar, la masa de la media bola es $\dfrac{2\pi}{3}$ .

Imaginemos ahora que el medio balón es un jamón industrial. Imagina una loncha muy fina de ese jamón, cortada en paralelo a la mesa, pero se deja en su sitio. Que la rebanada se tome de altura $z$ a la altura $z+dz$ donde $dz$ es extremadamente pequeño. La rebanada es casi un cilindro de altura muy pequeña $dz$ .

Primero calculamos el radio $r=r(z)$ de la rebanada. Por el Teorema de Pitágoras, tenemos $r^2+z^2=1$ Así que $r=\sqrt{1-z^2}$ .

Por lo tanto, el área de la rebanada es $\pi r^2=\pi(1-z^2)$ . El grosor es $dz$ por lo que el volumen, y por tanto la masa, de la rebanada es aproximadamente $\pi (1-z^2)\,dz$ .

El corte está a una distancia perpendicular $z$ de la mesa. Así que el momento de la rebanada alrededor del plano de la mesa es aproximadamente $\pi (1-z^2)(z)\,dz$ .

"Sumar" (integrar) de $z=0$ y $z=1$ . El momento completo de la bola es $$\int_0^1 \pi (1-z^2)(z)\,dz.$$ Calcula. Obtenemos $\dfrac{\pi}{4}$ .

Por último, dividir por la masa $\dfrac{2\pi}{3}$ . Obtenemos $\dfrac{3}{8}$ .

Para una bola de radio $R$ basta con multiplicar por $R$ . El centro de masa es $\dfrac{3 R}{8}$ por encima del centro del medio balón.

Answer 2

Sea $f(x) = \sqrt{r^2-x^2}$ y modelar el hemisferio como $H=\{(x,y) | x \in [0,r], \, |y| \le f(x) \}$ .

A continuación, calcule $\overline{x} = \frac{\int_0^r 2 \pi xf(x)^2 dx}{\int_0^r 2 \pi f(x)^2 dx}$ .

Estas integrales son fáciles de evaluar:

$\int_0^r 2 \pi xf(x)^2 dx = 2 \pi \int_0^r x ( r^2-x^2) dx = 2 \pi \frac{r^4}{4}$ .

$\int_0^r 2 \pi f(x)^2 dx = 2 \pi \int_0^r ( r^2-x^2) dx = 2 \pi \frac{2 r^3}{3}$ .

$\overline{x} = \frac{3}{8} r$ .

Answer 3

1- Supongamos que la superficie plana está situada en un plano horizontal con el cuenco (semiesfera) debajo) 2- X = izquierda/derecha 3- Z = delante/detrás 4- Y = desplazamiento vertical

Ambas coordenadas X y Z estarán en el eje de rotación, es decir, a 0 offset. El centro de masa estará a .1875 * D de la superficie plana de la semiesfera.

RJ

Answer 4

$a > 0$ : radio.

\begin{align} \vec{r}_{\rm cm} &\equiv {1 \over V}\int_{V}\vec{r}\,{\rm d}V = {1 \over \left(4\pi a^{3}/3\right)/2}\int_{V}{1 \over 2}\nabla r^{2}\,{\rm d}V = {3 \over 4\pi a^{3}}\int_{S}r^{2}\,\hat{r}\,{\rm d}S \\[3mm]&= {3 \over 4\pi a^{3}}\left[% \int_{\Huge\frown}a^{2}\,{z \over a}\,\hat{z}\,{\rm d}S\ +\ \int_{\Huge\_}\left(x^{2} + y^{2}\right)\left(-\hat{z}\right)\,{\rm d}x\,{\rm d}y \right] \\[3mm]&= {3 \over 4\pi a^{3}}\,\hat{z}\left\lbrack% a^{2}\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/2}\cos\left(\theta\right)\ a^{2}\sin\left(\theta\right)\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\phi\ -\ \int_{0}^{a}\rho^{3}\,{\rm d}\rho\int_{0}^{2\pi}{\rm d}\phi \right] \end{align}

$$ \begin{array}{|c|}\hline\\ \color{#ff0000}{\large\quad% \vec{r}_{\rm cm} = {3 \over 8}\,a\;\hat{z} \quad} \\ \\ \hline \end{array} $$