Es $k(x)[y]$ isomorfo de $k[x,x^{-1},y]$ donde $k$ es un campo algebraicamente cerrado

Question

No lo creo, pero no podría probarlo ni refutarlo.

Ya que no lo creo.

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Intenté utilizar

1. Podemos entender que $k(x)\not\cong k[x,x^{-1}]$ uno de ellos es campo pero el otro no.

Sin embargo $S[x]\cong T[x] \not\Rightarrow S\cong T$ ya que, en general ver: En $R[x] \cong S[x]$ implica $R \cong S$ ?

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2. Como $k[x][y]=k[y][x]$ Intento cambiar $k(x)[y]=(k[y])(x)$ pero de nuevo uno de ellos es campo pero el otro no.

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3. Intento pensar en $R[x]$ y series polinómicas formales $R[[x]]$ y pensaba que si un polinomio en $R[[x]]$ no es invertible entonces no puede ser invertible en $R[x]$ pero todo elemento invertible en series formales son con constante no nula si tenemos polinomio puramente x se puede invertir en en subring $R[x]$ considerando la inyección canónica en $R[[x]]$

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4. Intenta encontrar algunos ejemplos como: $x+1$ es invertible en $k(x)[y]$ desde $1/(x+1)$ aquí pero $x+1$ no es invertible en $k[x,x^{-1},y]$ ya que si fuera invertible entonces $$1=(x+1)\left(\sum_{n\in \mathbb Z}a_i(y)x^n\right)$$ donde $a_i(y)\in k[y]$ y finitamente muchos $a_i(y)$ son distintos de cero. Podemos ver que $x+1$ no es invertible en $k[x,x^{-1},y]$ pero no puedo estar seguro de $x+1$ debe asignarse a $x+1$ .

Pensé que si había un isomorfismo $\phi :k(x)[y]\to k[x,x^{-1},y]$ entonces $\phi(x+1)$ debe ser invertible en $k[x,x^{-1},y]$ pero no sabemos donde esta $\phi$ Mapa $x+1$ ¿a?

Edita:

El comentario de Alex Wertheim se ha desvanecido con alguna respuesta borrada por lo que estoy añadiendo su buen comentario aquí (Si le gusta, por favor, edite y borre su comentario aquí)

Alex Wertheim : "Probablemente sería más fácil señalar que $R/yRk[x,x^{-1}]$ y así $R$ contiene un ideal primo distinto de cero que no es maximal, y por tanto no puede ser un PID".

Answer 1

Como sugirió @Douglas Molin en los comentarios, porque $k(x)$ es un campo (aunque $k$ no es algebraicamente cerrado), existe un conocido teorema que dice que $R[x]$ es un PID si $R$ es un campo, lo que significa que $k(x)[y]$ es un PID.

Pero $k[x,x^{-1},y]$ no es un PID ya que $k[x,x^{-1}]$ no es un campo (véase $x+1$ ).

Answer 2

Sugerencia cómo puede completar su argumento: $\phi(x)$ tiene que ser un elemento que no tenga raíz cuadrada. En $k[x,x^{-1},y]$ si un elemento $\alpha$ no tiene raíz cuadrada, entonces no está en $k$ por lo que $\alpha$ o $\alpha+1$ no es invertible (para comprobarlo, demuéstrese que $\alpha$ es invertible si $x^k\cdot \alpha$ es invertible en $k[x,y]$ para algunos $k\in \mathbf Z$ ).

(Obsérvese que el otro argumento proporciona un teorema más sólido, ya que no se necesita $k$ sea algebraicamente cerrado).