$L^2$ implica una distribución atemperada

Question

Estoy leyendo un libro y no entiendo algunas de las afirmaciones de la prueba. Dice $1_{B(0,1)}f\in L^2(\mathbb{R}^d;(1+|\xi|)^sd\xi))$ por lo que también pertenece a $S'(\mathbb{R^d})$ por lo que se trata de una distribución atemperada. No sé muy bien por qué la función pertenece a $L^2$ espacio de alguna medida implica que es una distribución atemperada. ¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

Una forma fácil de verlo $L^2(\mathbb{R}^d) \subset \mathcal{S}'(\mathbb R^d)$ : $\mathcal{S}'(\mathbb R^d)$ se define como el espacio dual de $\mathcal{S}(\mathbb R^d)$ , le Espacio Schwartz que figura en $L^2$ (eso es fácil de ver). En $\mathcal{S} \subset L^2$ tomando los duales obtenemos $(L^2)' \subset \mathcal{S}$ y el resultado se deduce porque $(L^2)'=L^2$ .