Se podría intentar aplicar la sucesión espectral de Eilenberg-Moore al diagrama de pullback - → X ← -, obteniendo una sucesión espectral Tor H <sup>- </sup>(X, R) (R, R) => H - (ΩX, R), pero ¿podría haber diferenciales o problemas de extensión que difieran para distintos espacios X con el mismo anillo de cohomología?
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Patrick McElhaney
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Bueno, los grupos de Lie simplemente conectados tienden a tener cohomología que es un álgebra exterior. Por ejemplo, SU y X = S 3 x S 5 x S 7 x ... tienen el mismo anillo de cohomología. Pero ΩSU=BU, y ΩX no lo es. Puesto que cada H ∗ ΩS n es un álgebra de potencia dividida, mientras que H ∗ BU es un álgebra polinómica, esto debería proporcionar un contraejemplo, creo. Supongo que esto aparece en la secuencia espectral de Eilenberg-Moore como un problema de extensión no trivial.
El comentario de Tyler a mi respuesta anterior parece dar una solución; sugiere comparar el espacio $T=(S^3\vee S^3)\cup\_{[x,[x,y]]} e^8$ con una cuña $S^3\vee S^3\vee S^8$ . Probablemente sea más fácil pensar en la homología con el producto de Pontryagin. La homología de bucles en la cuña será un álgebra tensorial sobre clases en 2,2,7 (ya que se trata de bucles de una suspensión). La homología de bucles en el espacio de Tyler $T$ debería diferir en dimensión 6: la clase de homología [x,[x,y]] será 0 (donde x,y son ahora los generadores de homología en dimensión 2), "matados" por el nuevo mapa de unión. Así que H_6 (y por tanto H^6) de los dos espacios tienen distinto rango.
Para hacerlo explícito, tenemos $S^7 \xrightarrow{f} X \rightarrow T$ donde X es la cuña de dos 3 esferas. La restricción de $\Omega f: \Omega S^7 \to \Omega X$ es un mapa $S^6 \to \Omega X$ adjunto a f, y en homología esto da con la clase de homología correspondiente a la [x,[x,y]]. El resultado se deduce porque $\Omega S^7 \to \Omega X \to \Omega T$ es homotópica nula. (Básicamente estoy utilizando el teorema de Hilton-Milnor para entender $\Omega X$ .)
BZ.
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Complementando las otras respuestas de este hilo: mientras que el anillo de cohomología de un espacio simplemente conexo no determina la cohomología del espacio de bucles, la cohomología racional vista como una $A_\infty$ -el álgebra lo hace.
A saber, la cohomología de cualquier $A_\infty$ -álgebra $A$ en $\mathbf{Q}$ (en particular, de cualquier álgebra diferencial graduada) lleva una $A_\infty$ -tal que existe una $A_\infty$ mapa $H^\ast(A)\to A$ induciendo la identidad en cohomología; esto $A_\infty$ es única hasta un isomorfismo no único. Véase, por ejemplo, Keller, Introduction to A-infinity algebras and modules, 3.3 y sus referencias. Tomando $A$ para ser las co-cadenas singulares racionales de un espacio topológico $X$ obtenemos un $A_\infty$ -estructura en $H^\ast(X,\mathbf{Q})$ .
A cada uno $A_\infty$ álgebra $H$ corresponde una construcción de barra, que es una coalgebra diferencial libre sobre $H$ desplazado 1 a la izquierda (véase, por ejemplo, el apartado 3.6 del artículo de Keller mencionado anteriormente). Es un viejo resultado de Kadeishvili (véase MR0580645) el que si $H$ es la cohomología de un espacio simplemente conectado $X$ con lo anterior $A_\infty$ -entonces la cohomología de la construcción de la barra es la cohomología de $\Omega (X)$ .
Esto también explica por qué debemos esperar una respuesta negativa a la pregunta tal y como está planteada: todos los componentes de la $A_\infty$ estructura sobre la cohomología participan en la construcción de la barra, y no sólo el producto.
Patrick McElhaney
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Parece difícil encontrar un ejemplo en el que la cohomología grupos de los espacios de bucle difieren. Imagino que algo como lo siguiente debería producir un ejemplo, en el contexto de la homotopía racional:
Encuentre dos dgas racionales conmutativos A y B cuyas álgebras de cohomología sean iguales como anillos, pero que tengan estructuras de producto de massey diferentes. Entonces creo que es probable que los productos tensoriales derivados Q ⊗ A Q y Q ⊗ B Q tendrán diferente cohomología. Sin embargo, no encuentro un ejemplo lo suficientemente pequeño como para calcularlo.
Kalid
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Mi impresión es que Charles va por buen camino con la respuesta anterior. Pero en lugar de buscar un contraejemplo, creo que deberíamos intentar corregir la pregunta original. Ahora no estoy muy seguro de sobre qué anillos funcionan las siguientes afirmaciones, posiblemente sólo sobre anillos sobre un campo de char 0. Tal vez alguien conozca los detalles mejor que yo, pero para que funcione probablemente habrá que trabajar con álgebras simpliciales, ya que éstas tienen una estructura modelo sobre cualquier anillo.
Las co-cadenas de X llevan una estructura dg-álgebra A. Puesto que ΩX es el pullback homotópico de - → X ← - y tomar co-cadenas debería preservar los (co)límites relevantes (puede alguien ayudarme aquí), entonces el anillo de co-cadenas de ΩX es el pushout homotópico de k ← A → k, es decir, el producto tensor derivado. Podemos entonces tomar la cohomología.
Para el siguiente bit probablemente sí necesitemos la característica 0. El anillo de co-cadenas será bastante grande, así que para no perdernos podríamos tomar la cohomología, pero recordando las operaciones superiores. Entonces, como anillo infinito, la cohomología H(A) será cuasi isomorfa a A (lo que no es necesariamente cierto si no recordamos las operaciones superiores). Entonces con eso en mente podemos calcular la forma derivada de k ⊗_H(A) k. Su cohomología debería ser la cohomología del espacio de bucles.
Aunque estaría bien tener un contraejemplo, qué tal complementos de enlaces, los anillos de cohomología no son tan malos de calcular (sólo dependiendo del número de enlaces sobre los racionales al menos). ¿Y los espacios de bucles?
