Derivado de functors de torsión functor

Question

Deje $A$ ser un dominio. Para cada $A$-módulo de $M$ considera su torsión submódulo $M^{tor}$ compone de elementos de $M$ que son aniquilados por un no-cero elemento de $A$. Si $f \colon M \to N$ es un homomorphism, a continuación,$f(M^{tor}) \subseteq N^{tor}$, así que llame a $f^{tor} \colon M^{tor} \to N^{tor}$ la inducida por el mapa. Tenemos un functor covariante $^{tor}$ a partir de la categoría de $A$-módulos a sí mismo. Es sencillo comprobar que $^{tor}$ es un aditivo a la izquierda-functor exacto; por lo que podemos considerar su derecho derivado de functors $R^i$$i \geq 0$: si $Q^{\bullet}$ es un inyectiva resolución de $M$,$R^i(M) = H^i((Q^{\bullet})^{tor})$.

Si $A$ es un PID entonces es muy fácil de calcular, $R^i(M)$ finitas $A$-módulo de $M$, debido a que es fácil tener inyectiva resoluciones. De hecho, es bien sabido que el $K$ $K/A$ son inyectiva $A$-módulos, donde $K$ es el campo de fracciones de $A$.

Mis preguntas son:

1. Se puede calcular $R^i(M)$ si $A$ no es un PID o $M$ no es finito? Tienen estos functors ha estudiado?
2. ¿Cuál es la relación entre el$R^i$$\mathrm{Tor}_j$?
3. En la categoría de $A$-módulos, existen otros derivados de functors que se han estudiado y que no se $\mathrm{Tor}$ ni $\mathrm{Ext}$?

Answer 1

Puede leer acerca de local cohomology. El artículo de la Wikipedia es sobre todo acerca de la gavilla de la teoría, sino a través de un esquema afín y para quasicoherent poleas, usted puede pensar de la siguiente manera: si $R$ es un anillo (es decir, noetherian), $I \subset R$ un ideal, entonces, $R$- módulo de $M$, $H^i_I(M)$ es el derecho derivado functor de la functor $M \mapsto \varinjlim \hom_R(R/I^m, M)$; esto envía un módulo de $M$ a su colección de $I$-torsión de los elementos. (La interpretación de $I$-torsión y global secciones apoyado a lo largo de la subscheme corta por $I$ da la conexión entre este debate y la gavilla teórico de la formulación.) Así, desde la que se derivan functor de $\hom$$\mathrm{Ext}$, un poco abstracta tonterías muestra que $H^i_I(M)$ puede ser descrito como $\varinjlim \mathrm{Ext}^i(R/I^m, M)$. (Parece más natural para estos functors estar relacionados con la $\mathrm{Ext}$$\mathrm{Tor}$, ya que para obtener la torsión en un módulo, usted está buscando para los mapas en el módulo, no los elementos del tensor de producto.

Digamos que $R$ es un anillo local y $I$ el máximo ideal. Luego, el local cohomology módulos son exactamente los módulos de torsión de preguntar acerca de. Si $R$ es regular, que puede calcularse mediante el local de la dualidad isomorfismo $H^i_I(M) = (\mathrm{Ext}^{n-i}(M, k))^{\vee}$ (donde $\vee$ denota la Matlis doble, $n$ la dimensión y $k$ el residuo de campo; ver SGA 2, exp. V). Así que si usted sabe un proyectiva resolución de $M$, se puede utilizar para calcular el local cohomology grupos (generalmente, una resolución proyectiva es mucho más fácil de encontrar que un inyectiva uno!).

Answer 2

3: Este es casi el engaño, sé que...

Mac Lane estudiado los functors $\mathrm{Trip}_n$ que surgen de derivating (?) el functor $M\otimes N\otimes P$ de tres variables. Hay referencias en su libro de Homología. Lo interesante es que esto no puede ser expresado en términos de $\mathrm{Tor}$.

1: Si $\mathcal I$ es el conjunto de todos los no-cero ideales ordenado por inclusión (que se dirige), tenemos $$M^{tors}=\varinjlim_{I\in\mathcal I}\:\hom_A(A/I,M).$$ You should look up the relationship between right-deriving , and directed direct limits like this one, and that should tell you what your $R^i$ functors are. (This will tell you that your $R^i$ are more related to $\mathrm{Ext}$ than to $\mathrm{Tor}$)