Una función $f\in C^1(\mathbb{R})$ con $f'(x)\not=0$ para todos $x$ sin inversa global.

Question

No creo que exista, pero el autor de mi texto dice que debería. He aquí por qué no tal $f$ existe. Supongamos que $f$ no tenía una inversa global, claramente $f$ no es inyectiva, pues de lo contrario podríamos definir $$g:\text{Im}(f)\to \mathbb{R}$$ por $$y\mapsto x$$ donde $f(x)=y.$ Si $f$ no es inyectiva, entonces $f(a)=f(b)$ para algunos $a,b\in\mathbb{R}$ distinto. Entonces por el Teorema del Valor Medio existe $c$ con $$0=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(c).$$ Por contrapositiva si $f'$ es no evanescente, entonces $f$ es inyectiva y, por tanto, globalmente invertible.

¿Acaso me he equivocado o el autor se equivoca en este caso?

Answer 1

Tienes razón en que una función diferenciable $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ cuyo cuya derivada nunca desaparece debe ser inyectiva. De hecho, Teorema de Darboux garantiza que $f'(x)$ no puede cambiar de signo, por lo que es positivo en todas partes o negativo en todas partes, lo que implica que $f$ es una función estrictamente monótona, ya sea estrictamente decreciente o estrictamente creciente, por lo que es inyectiva.

Así que o el autor de tu libro quiere decir que el rango de la función no es $\mathbb{R}$ o, si lo hace, es un error.