Sobre el homomorfismo de inclusión de matrices cuaterniónicas en matrices complejas

Question

Mis pensamientos / información de fondo:

Es fácil encontrar un homomorfismo de inclusión para matrices complejas en matrices reales: considerando el caso unidimensional, observe que multiplicando un número complejo $z$ por un número complejo de longitud unitaria es lo mismo que rotar el número complejo $z$ por un ángulo determinado. Escribiendo la matriz de rotación en $\mathbb R^2$ hace evidente que la asignación $a + ib$ a $\displaystyle \left(\begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array}\right)$ es el homomorfismo de inclusión deseado en una dimensión y generalizándolo a $n$ dimensiones no es difícil.

Mi pregunta:

Lo que no me queda claro es generalizar esto a las matrices cuaterniónicas: dado un cuaternión $p = a + jb$ (¡Cuidado! $a$ y $b$ están ahora en $\mathbb C$ ) y un cuaternión unitario $q = \cos {\theta \over 2} + (u_x i + u_y j + u_z k)\sin {\theta \over 2}$ Soy consciente de que $qpq^{-1}$ es un cuaternión rotado por el ángulo $\theta$ .

Pero, ¿cómo puedo deducir de ello que el homomorfismo en $1$ dimensión debe ser

$$ a + bj \mapsto \left(\begin{array}{cc} a & b \\ -\overline{b} & \overline{a} \end{array}\right)$$

¿Cómo se obtiene este mapa?

Answer 1

Aquí es mejor ver $\mathbb{H}$ como un espacio vectorial real con base $\{1,i,j,k\}$ . Entonces tenemos un isomorfismo de álgebra con las matrices complejas

$$ \mathbb{H}\cong \left\{ \begin{pmatrix} w & z \\ -\overline{z} & \overline{w}\end{pmatrix}\mid z,w\in \mathbb{C}\right\}. $$

vía $$a+bi+cj+dk \mapsto \begin{pmatrix} a+bi& c+di\\ - c+di & a-bi \end{pmatrix}. $$

Para más información aquí .

Answer 2

Creo que te equivocas al centrarte en el aspecto "rotación", en lugar de en la mera operación de "multiplicación por un cuaternión (o número complejo)".

Para un cuaternión fijo $a+bj$ el mapa $$ (x+yj) \mapsto (x+yj)(a+bj) $$ es un $\mathbf{C}$ -mapa lineal de $\mathbf{H}$ a $\mathbf{H}$ . Aquí estamos viendo $\mathbf{H}$ como un espacio vectorial complejo bidimensional en el que la multiplicación escalar se realiza por la izquierda; éste es un detalle importante, ya que si $\lambda \in \mathbf{C}$ y $q \in \mathbf{H}$ entonces $\lambda q \neq q \lambda$ en general.

Multiplicando el lado derecho y simplificando (utilizando que $jz=\bar{z}j$ para números complejos $z$ ), obtenemos $(xa-y\bar{b})+(xb+y\bar{a})j$ lo que significa que la representación matricial de este mapa lineal es $$ (x,y) \mapsto (x,y) \begin{pmatrix} a & b \\ -\bar{b} & \bar{a} \end{pmatrix} . $$ (Esto parece un poco inusual, ya que normalmente dejamos que las matrices actúen sobre vectores columna en lugar de vectores fila, pero tiene que ver con la elección de poner los escalares a la izquierda).

Ahora bien, la composición de dos mapas de este tipo muestra que $$ (x+yj) \mapsto (x+yj)(a+bj)(c+dj) $$ corresponde a $$ (x,y) \mapsto (x,y) \begin{pmatrix} a & b \\ -\bar{b} & \bar{a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & d \\ -\bar{d} & \bar{c} \end{pmatrix} , $$ por lo que el producto de las matrices corresponde efectivamente al producto de los cuaterniones correspondientes.