Reguladores de campos numéricos y curvas elípticas

Question

Se supone que existe una gran analogía entre la aritmética de los campos numéricos y la aritmética de las curvas elípticas. Una faceta de esta analogía viene dada por la fórmula del número de clase para el término principal de la función Zeta de Dedekind de K, por un lado, y la fórmula conjetural para el término principal de la función L asociada a una curva elíptica definida sobre un campo numérico, por otro. Se pueden observar los términos que aparecen en estas dos expresiones y más o menos "emparejarlos" como cantidades análogas.

Uno de estos pares está formado por los respectivos reguladores. El regulador de un campo numérico K se define tomando una base para la parte libre de las unidades del anillo de enteros y utilizando después las incrustaciones de K en C, tomando logaritmos de valores absolutos, etc. El regulador de una curva elíptica se define tomando una base para la parte libre de los K puntos de la curva y, a continuación, calculando el determinante de una matriz simétrica construida a partir de esta base utilizando un emparejamiento de alturas.

Mi pregunta es: ¿hay alguna forma de ver el regulador del campo numérico como procedente de algún tipo de emparejamiento simétrico en las unidades de K? Alternativamente, sólo dar algún razonamiento por qué estas construcciones parecen tan diferentes.

Answer 1

Permítanme darles primero una "razón" heurística, por la que el regulador en la fórmula del número de clase parece diferente del regulador en la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. A menudo es más conveniente (y más canónico) combinar el regulador y el término de torsión en la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer: se elige un subgrupo libre $A$ del grupo de Mordell-Weil de $E(K)$ con índice finito y observa la cantidad $R(A)/[E(K):A]^2$ donde $R(A)$ es el valor absoluto del determinante del emparejamiento de alturas Néron-Tate sobre una base de $A$ . Como se puede comprobar fácilmente, el cuadrado en el denominador asegura que esta cantidad es independiente de la elección de $A$ . Ahora, en la fórmula del número de clase, el término de torsión se sustituye por el número de raíces de la unidad en $K$ y ese término no está elevado al cuadrado. Así que para que tal formulación canónica sea posible, es razonable esperar que no se defina el regulador del campo numérico a través de un emparejamiento simétrico sobre las unidades, sino su cuadrado. Entonces se podría hacer la misma definición que en el caso de las curvas elípticas, y sería independiente de la elección del subgrupo de índice finito.

Una vez establecido esto, hay varias formas de acercar ambas situaciones. Podríamos hacer lo más ingenuo: tomar la matriz $M=(\log|u_i|_{v_j})$ donde $u_i$ recorre una base de la parte libre de las unidades (o más generalmente $S$ -unidades para cualquier conjunto de plazas $S$ que incluye las de Arquímedes), y donde $v_j$ recorre todos los lugares arquimedianos menos uno (o, más en general, todos los lugares en $S$ ), v_0, digamos. Los valores absolutos deben normalizarse convenientemente (véase, por ejemplo, el libro de Tate sobre la conjetura de Stark). Tomemos ahora la matriz simétrica $MM^{tr}$ y definirla como la matriz de un nuevo emparejamiento en las unidades. En otras palabras, definirías tu emparejamiento simétrico como $$ (u_1,u_2) = \sum_{v\in S\backslash\{v_0\}} \log|u_1|_v\log|u_2|_v. $$ Entonces, está claro que tienes un emparejamiento simétrico y que el determinante de ese emparejamiento con respecto a cualquier base en la parte libre de las unidades es $R(K)^2$ . Como he mencionado anteriormente, la plaza era de esperar.

Dependiendo de lo que quieras hacer, puede que este binomio no sea el más adecuado. Por ejemplo, si ahora $F/K$ es una extensión finita y se considera el emparejamiento análogo en el $S$ -unidades de $F$ y restringirlo a $K$ entonces no está claro cómo compararlo con el emparejamiento en $K$ . En cambio, en el caso de las curvas elípticas, la primera es $[F:K]$ veces este último. Para arreglar esto, podemos hacer la siguiente definición: $$ (u_1,u_2) = \sum_{v\in S} \frac{1}{e_vf_v}\log|u_1|_v\log|u_2|_v, $$ donde $e$ y $f$ son el índice absoluto de ramificación y el grado del campo de residuos, respectivamente. Con esta definición, la compatibilidad tras la restricción a subcampos es la misma que en el caso de las curvas elípticas. En cambio, la relación con el regulador real es algo menos evidente. Sin embargo, es bastante fácil de demostrar (y lo he hecho en http://arxiv.org/abs/0904.2416 Lemma 2.12, por si te interesan los detalles) que el determinante de este emparejamiento viene dado por $$ \frac{\sum e_vf_v}{\prod e_vf_v}R(K)^2, $$ con la suma y el producto de nuevo sobre los lugares en $S$ .

Así que supongo que la moraleja es que uno no debería buscar analogías entre la fórmula BSD y la fórmula del número de clase, sino más bien entre la fórmula BSD y el cuadrado del número de clase (nótese que también sha, que se supone que es el análogo de curva elíptica del número de clase, tiene orden cuadrado siempre que sea finito). También hay una heurística correspondiente en el lado analítico.

Answer 2

Primero Lichtenbaum, y luego en general Beilinson, han proporcionado conjeturas generales sobre valores especiales de las funciones L motivacionales en enteros relacionándolas con los llamados "reguladores superiores". Puedes echar un vistazo al artículo de Nekovar "Beilinson's Conjectures" en el volumen 1 de las actas de motives.

La respuesta a su pregunta implica una respuesta a su parte "alternativamente". Los valores especiales que comentas se encuentran en puntos de distinta naturaleza: el punto s=1 para una curva elíptica es el punto central (es decir, el punto reflejo de la ecuación funcional), mientras que para la función zeta, el punto central es s=1/2, por lo que s=1 no es central. Dado que s=1 es un punto central para una elíptica, el regulador de Beilinson es más complicado y requiere la construcción de un emparejamiento de alturas. Para otros números enteros, el valor L(n,E) (conjeturalmente) no requiere un emparejamiento de alturas, como en el caso de la función zeta.

Answer 3

No creo que ambos reguladores sean tan diferentes. Tanto el regulador del campo numérico como el regulador de la curva elíptica miden el volumen de un paralelopípedo. En ambos casos, la forma en cuestión es el dominio fundamental de una red formada por puntos integrales (o racionales) en un esquema de grupo conmutativo. Para el campo numérico, el esquema de grupos es el grupo multiplicativo G _m y para la curva elíptica, el esquema de grupo es la curva elíptica.

Para obtener una red en un espacio vectorial real con una forma cuadrática, necesitamos hacer algunas transformaciones en puntos integrales (resp. racionales). En el caso del campo numérico, se suelen tomar logaritmos de todos los valores absolutos arquimedianos, lo que transforma la estructura multiplicativa en aditiva, que es lo que queremos. En el caso de la curva elíptica, se construye un emparejamiento canónico de altura de una forma bastante elaborada. También se puede definir el regulador para el grupo multiplicativo utilizando alturas, pero ese nivel de sofisticación es innecesario debido a la existencia de un homomorfismo "log" analítico y a la falta de términos de error O(1).