¿Cuáles son los casos más importantes del "yoga de los puntos genéricos"?

Question

En geometría algebraica, un esquema irreducible tiene un punto llamado "punto genérico". La justificación de esta terminología es que, bajo hipótesis de finitud razonables, una propiedad que es cierta en el punto genérico es realmente cierta genéricamente (es decir, es cierta en un subconjunto abierto denso).

Por ejemplo, existe un resultado denominado "planitud genérica" ( EGA IV (2) Teorema 6.9.1). Supongamos que Y es localmente noetheriano e integral, con f:X→Y un morfismo de tipo finito y F es un coherente O _X -módulo. Si F es plano sobre el punto genérico de Y (condición que siempre se cumple, ya que cualquier cosa es plana sobre un punto), entonces existe un subesquema abierto denso U⊆Y tal que F es plano sobre U.

Estoy seguro de que hay muchos ejemplos de este "yoga de los puntos genéricos", pero cada vez que intento inventar uno, es un poco flojo (en mi ejemplo anterior, la condición en el punto genérico es vacua). ¿Cuáles son los principales ejemplos del yoga de los puntos genéricos?

Answer 1

El ejemplo de Greg de Hartshorne es en realidad un caso especial de una situación más general. Bajo cualquier mapa dominante de variedades afines, la imagen inversa del punto genérico es el esquema asociado a un dominio finitamente generado sobre el campo de funciones del objetivo. Por tanto, por la normalización de Noether, este esquema imagen inversa es una cubierta finita de un espacio afín sobre ese campo de funciones. Se deduce que sobre un conjunto abierto U del objetivo, el mapa factoriza como una cubierta finita de la proyección de U x k^n --> U, donde n es el grado de trascendencia de la extensión de campo definida por el mapa original. En el ejercicio de Hartshorne por supuesto n = 0. Este es el argumento para la estructura de un morfismo dominante en el libro rojo de Mumford, I.8, prueba del teorema 3.

Según mi experiencia, la palabra yoga significa "yugo" o "unión", del sánscrito, y se refiere a cualquier práctica destinada a ayudar a lograr la unidad, o quizá la comprensión, como la desconocida mencionada anteriormente. Pero mi impresión es que la práctica del yoga es más espiritual que intelectual.

Answer 2

Un ejemplo (Hartshorne Ch II Ex 3.7) donde la condición en el punto genérico no es vacua es:

Supongamos que f:X -> Y es un morfismo dominante de tipo finito de esquemas integrales tal que Y es irreducible y la fibra sobre el punto genérico de Y es finita. Entonces existe un subesquema abierto denso U de Y tal que f: f^{-1}(U) -> U es finito.

También se puede comprobar la planitud de una curva comprobando si determinados puntos se asignan al punto genérico.

La "desaparición genérica" también es válida para las láminas coherentes en el sentido de que una lámina de torsión se define como aquella que no está apoyada en el punto genérico.

Answer 3

En algunos casos, buscas condiciones abiertas y, por tanto, debes esperar que parezcan un poco tontas cuando intentes controlar los puntos. Otros parecen utilizar teoremas de "semicontinuidad más maldad cuasicompacta". Ejemplos estándar:

1. pedir que algo (como una función) no sea evanescente.
2. suavidad (de la planitud genérica).
3. morfismos que tienen dimensión de fibra al menos n.
4. representabilidad de un problema de módulos.

Para algunas de ellas, tenemos que tener cuidado al llamarlas condiciones abiertas debido a comportamientos no fieles como las fibras vacías. No siempre podemos definir el caso vacío como malo, por ejemplo, el esquema vacío es liso. (¿Es "fibras geométricas lisas + no vacías" una condición abierta?).

Answer 4

Existe una prueba espectacular de la ACC para los umbrales log canónicos en $\mathbb C ^N$ gracias a Ein, de Fernex y Mustata https://arxiv.org/abs/0905.3775 que se basa en tomar límites genéricos de polinomios / series de potencias (véase también el hermoso trabajo de Koll\'ar especialmente \S 4 de https://arxiv.org/pdf/0805.0756.pdf ). La idea es que el uso de puntos genéricos nos permite tomar el límite "correcto" de una secuencia de polinomios.

Answer 5

No puedo dar muchos detalles, pero recuerdo haber leído que uno de los principales defectos de la escuela italiana y de su trabajo sobre superficies era que seguían utilizando "puntos genéricos" sin definición en muchas de sus pruebas, y que ese agujero se subsanó con la teoría de esquemas añadiendo exactamente los puntos que necesitaban.