Por favor, hágamelo saber si esto es un duplicado. No he podido encontrar ninguna pregunta relacionada hasta ahora.
En mi clase, a menudo encontramos la rama cortada de $f(z) = z^k$ igualando la función a $f(z) = e^{Log(z^k)} = e^{kLog(z)}$ .
Un ejemplo puede verse aquí (nota del profesor): 
Sin embargo, no podemos decir ${Log(z^k)} = {kLog(z)}$ (por ejemplo $Log_\pi ((-1)^2)$ ).
He estado tratando de probar la ecuación $e^{Log_*(z^k)} = e^{kLog_*(z)} $ o encontrar la condición bajo la cual se cumple.
A continuación, mi prueba infructuosa hasta el momento:
Sea $z = re^{i\theta}, r\in \mathbb{R}/\mathbb{R^-}, \theta \in \mathbb{R}$ .
Por lo tanto, $z^k = r^ke^{ik\theta}$
$Log_\pi (z^k) = \ln|r^ke^{ik\theta}| + iArg_\pi(r^ke^{ik\theta})$
$kLog_\pi (z) = k\left(\ln|re^{i\theta}| + iArg_\pi(re^{i\theta})\right) =k\ln (r) + ikArg_\pi(re^{i\theta}) $
Rasing $e$ a cada potencia:
$e^{Log_\pi (z^k)} = e^{\ln|r^ke^{ik\theta}| + iArg_\pi(r^ke^{ik\theta})} = |r^ke^{ik\theta}|\cdot e^{iArg_\pi(r^ke^{ik\theta})}$
$e^{kLog_\pi (z)} = e^{k\ln (r) + ikArg_\pi(re^{i\theta})} = r^k \cdot e^{ikArg_\pi(re^{i\theta})} =r^k \cdot e^{ik\theta'}$ donde $\theta + 2\pi n =\theta'\in(\pi, 3\pi], n\in \mathbb{Z}$
No sé cómo seguir. ¿Puede alguien ayudarme, por favor?
¿O puede decirme en qué condiciones se mantiene la ecuación en el título?
Edición: Le pregunté lo mismo a mi profesor y su respuesta fue:
Esto casi nunca es cierto. Sólo es cierto si $k$ es un número entero y se utiliza $log$ en lugar de $Log$ . También es cierto que las funciones $Log(z)$ y $Log(z)$ difieren en una constante.
Pero ¿cómo concluyó $(-i)^{i-1} = e^{(i-1)Log(-1)}$ como en su nota anterior?
