Variables deterministas observadas en MCMC

Question

Necesito modelar una medida de un "decaimiento exponencial", es decir, tengo un histograma de recuentos $Y$ en una serie de intervalos (temporales). Quiero utilizar MCMC para inferir parámetros ( $A_1,\lambda_1,A_2,\lambda_2,\lambda_{bgd}$ ) de un modelo $$Y = A_1\mathrm{Poisson}(\lambda_1)+A_2\mathrm{Poisson}(\lambda_2)+\mathrm{Poisson}(\lambda_{bgd})$$ que describe una desintegración con dos variables poisson, dos amplitudes asociadas y un fondo poisson.

Actualmente estoy trabajando con pymc3, donde parece que las variables observadas (por ejemplo. $Y$ ) no pueden ser variables deterministas al mismo tiempo. Según entiendo el problema, no se puede asociar ninguna probabilidad a una variable determinística para el muestreo (no hay probabilidad para la suma/producto de las variables estocásticas $A_i,\lambda_i$ ).

Hasta ahora se me ocurren dos formas de abordar el problema:

• Intente encontrar una expresión explícita para la probabilidad de los parámetros $A_1,...,\lambda_{bgd}$ dados los datos. Similar a aquí (bajo el problema del faro) http://www.awebb.info/blog/observing_functions
• Modelo $Y$ como una variable estocástica (por ejemplo, normal) con una varianza y una media fijas en $A_1\mathrm{Poisson}(\lambda_1)+A_2\mathrm{Poisson}(\lambda_2)+\mathrm{Poisson}(\lambda_{bgd})$ como se sugiere aquí: https://discourse.pymc.io/t/observed-deterministic/483

La primera parece complicada, la segunda parece bastante chapucera y no sé si sería rigurosa.

¿Puede indicarme cómo resolver este problema de la variable observada es una variable determinista ? (No lo digo como una pregunta puramente técnica para pymc, sino más bien conceptualmente sobre cómo enfocar un problema así).

Answer 1

Mi comentario original no entendía la naturaleza de su problema. En efecto, es cierto que PyMC no puede modelizar sistemas en los que la variable observada es determinista. Eso me sorprendió un poco, pero el artículo que enlazas proporciona una buena razón de por qué es así.

Ahora, para su problema: Dado que no podemos observar directamente la suma de productos $Y$ tal como la has dado, una buena solución sería encontrar una expresión para $Y$ como una única variable aleatoria parametrizada por ( $A_1,\lambda_1,A_2,\lambda_2,\lambda_{bgd}$ ). Podríamos entonces introducir esto en PyMC como se pretendía originalmente (pero ahora la variable observada no sería determinista).

Afortunadamente, eso es bastante fácil: multiplicando una variable aleatoria de Poisson $Poisson(\lambda)$ por una constante $A$ da como resultado la variable aleatoria de Poisson $Poisson(\lambda A)$ . Del mismo modo, añadiendo dos variables aleatorias de Poisson con lambdas $\lambda_1$ y $\lambda_2$ da como resultado la variable aleatoria de Poisson $Poisson(\lambda_1 + \lambda_2)$ . Eso significa que tu variable aleatoria $Y$ puede modelarse simplemente como:

$Y \sim Poisson(A_1 \lambda_1 + A_2 \lambda_2 + \lambda_3)$

Lo que, por supuesto, nos lleva a la mala noticia - si tuviéramos que estimar la lambda de esta variable aleatoria $Y$ (ya sea utilizando PyMC o, ahora que la distribución es mucho más simple, un método más directo), es evidente que no hay manera de que podamos aislar las tres influencias separadas de las distribuciones de Poisson subyacentes.

En otras palabras, su experimento no nos da suficiente información para conjeturar las distribuciones subyacentes porque cualquier combinación lineal de variables aleatorias de Poisson es en sí misma sólo una variable aleatoria de Poisson.

Editar

multiplicar una variable aleatoria de Poisson $Poisson(\lambda)$ por una constante $A$ da como resultado la variable aleatoria de Poisson $Poisson(\lambda A)$

Uy, eso está claramente mal. En esta respuesta la distribución de $Z = \alpha X$ (donde $X \sim Poisson(\lambda)$ ) tiene el PMF:

$P(Z=z) = \frac{\lambda^{z / \alpha}}{(z / \alpha)!}e^{-\lambda}$

cuando $z / \alpha$ es un número entero no negativo y $0$ de lo contrario.

Lo que me sugiere que este problema es aún más imposible si $A_1$ y $A_2$ son continuas. Si son continuas, la probabilidad será cero para todas las muestras (ya que la probabilidad de que $z / \alpha$ es un número entero es cero para continua $\alpha$ ). Si son discretos, entonces puede ser posible resolver este problema, pero probablemente tendrá que implementar su propia distribución personalizada en PyMC, utilizando el PMF dado anteriormente.

Este problema se convierte en trivial si $A_1 = A_2 = 1$ .