Convergencia de $\int_0^{\infty} x \cos (x^6)\,dx$

Question

Siento que $\int_0^{\infty} x \cos (x^6) dx$ es convergente usando la definición regular de primer año de una integral. He intentado convencer de ello a un profesor universitario, pero según él estoy equivocado. ¿Acaso lo estoy?

Mi idea es que hagas una sustitución en u y obtengas un valor proporcional a $\int_0^{\infty} \cos(x^3) dx$ y esto es convergente porque se alterna cada vez más rápido. Por lo tanto, el área de cada joroba es alterna y absolutamente menor. A partir de esto cada secuencia es Cauchy.

¿Qué opinas?

Edición: Parece que tenía razón. Permítanme frenar a algunos detractores recordando que $\int_0^{\infty}f(x)dx := \lim_{n\to \infty} \int_0^n f(x)dx$ y esto está bien definido para todos $n>0$ . Por lo tanto, sólo estamos tomando un límite. La cuestión es si ese límite existe.

Answer 1

En el PO, la intuición es buena, pero faltan detalles. Efectivamente, las oscilaciones son cada vez más rápidas, pero hay que comprobar que las partes positiva y negativa casi se anulan.

El integrando se comporta bien en $[0,1]$ para que podamos trabajar con $\int_1^\infty x\cos(x^6)\,dx$ . Reescríbalo como $$\int_1^\infty \frac{1}{x^4}\cdot x^5\cos(x^6)\,dx,$$ e integrar por partes, dejando que $u=\frac{1}{x^4}$ y $dv=x^5\cos(x^6)\,dx$ . Entonces tenemos $du=-\frac{4}{x^5}\,dx$ y podemos tomar $v=\frac{1}{6}\sin(x^6)$ . Al final tendremos que demostrar que la integral $$\int_1^\infty \frac{\sin(x^6)}{x^5}\,dx$$ converge, lo que es evidente puesto que $\sin(x^6)$ está limitada.

Observación: Si queremos ser más formales, podemos dejar que $I(B)$ sea la integral de $0$ a $B$ . Entonces $I(B)$ es la integral de $0$ a $1$ más la integral de $1$ a $B$ . Esencialmente, el mismo argumento demuestra que $\lim_{B\to\infty} I(B)$ existe.

Answer 2

Se trata de un integral impropia y se define como $$ \lim_{M\to\infty}\int_0^Mx\cos(x^6)\,\mathrm{d}x\tag{1} $$ Aunque $\limsup\limits_{x\to\infty}x\cos(x^6)=\infty$ y $\liminf\limits_{x\to\infty}x\cos(x^6)=-\infty$ la oscilación del integrando se hace tan rápida, que el límite $(1)$ existe. $$ \begin{align} \int_0^Mx\cos(x^6)\,\mathrm{d}x &=\frac16\int_0^{M^6}x^{-2/3}\cos(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\frac16\int_0^{\pi/2}x^{-2/3}\cos(x)\,\mathrm{d}x+\frac16\int_{\pi/2}^{M^6}x^{-2/3}\cos(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\frac12\int_0^{\pi/2}\cos(x)\,\mathrm{d}x^{1/3}+\frac16\int_{\pi/2}^{M^6}x^{-2/3}\,\mathrm{d}\sin(x)\\ &=\frac12\int_0^{\pi/2}x^{1/3}\sin(x)\,\mathrm{d}x\\ &+\frac16\left(M^{-4}\sin\left(M^6\right)-(\pi/2)^{-2/3}\right) +\frac19\int_{\pi/2}^{M^6}x^{-5/3}\sin(x)\,\mathrm{d}x\tag{2} \end{align} $$ Tomando el límite como $M\to\infty$ rendimientos, $$ \begin{align} \int_0^\infty x\cos(x^6)\,\mathrm{d}x &=\frac12\int_0^{\pi/2}x^{1/3}\sin(x)\,\mathrm{dx}\\ &+\frac19\int_{\pi/2}^\infty x^{-5/3}\sin(x)\,\mathrm{d}x -\frac16(\pi/2)^{-2/3}\tag{3} \end{align} $$ y estas integrales convergen.

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Utilizando un poco de integración de contornos, podemos obtener una forma cerrada para la integral anterior: $$ \frac{\sqrt3}{12}\Gamma\left(\frac13\right)\tag{4} $$

Answer 3

Considere esta integración como una suma de fragmentos donde $cos(x^6)$ cruza el cero dos veces. y $$\int_{a_n}^{b_n} x \cos (x^6) dx<\int_{a_n}^{b_n} |x| dx<\Sigma (c_n \frac{2\pi}{n^6})$$

donde $c_n$ es el valor máximo de x en este periodo. El orden de $c_n$ es $O(n^1)$

$x$ crece con la potencia uno, pero la longitud del fragmento se reduce con la potencia 6. Por tanto, este integrado es menor que la suma convergente de una serie exponencial.

Answer 4

• En cuanto a la convergencia, véase Lema de Riemann-Lebesgue .

• En cuanto a la evaluación, utilice Fórmula de Euler junto con la definición del $\Gamma$ función para llegar a $\displaystyle\int_0^\infty f\big(x^n\big)~dx=f\bigg(\frac\pi{2n}\bigg)\cdot\Gamma\bigg(1+\frac1n\bigg)$ donde $f\in\big\{\cos,\sin\big\}$ y $n>1$ .