Demostrar que el grupo de Galois tiene un elemento de orden 8.

Question

Sea $K = \mathbb{R}(X)$ sea el campo de las funciones racionales con coeficientes reales, y sea $$F = \mathbb{R}\left(X^4 - \frac{1}{X^4}\right)$$ sea un subcampo de $K.$ Sea $L$ sea el cierre de Galois de la extensión de campo $K/F.$ Me piden que demuestre que el grupo de Galois $\Gamma(L/F)$ tiene un elemento de orden $8$ y encontrar todas las extensiones intermedias de grado $4$ .

En primer lugar, necesitaría saber qué $L$ es. Tenga en cuenta que $K = F(X),$ así que $L$ es el campo de división del polinomio mínimo de $X$ en $F.$ Un polinomio que efectivamente mata $X$ es $$f(t) = t^8 - \left(X^4 - \frac{1}{X^4}\right)t^4 - 1.$$ Tenemos que demostrar que es irreducible. Obsérvese que $$[K:F(X)] = [\mathbb{R}(X):\mathbb{R}(X^4)][\mathbb{R}(X^4):\mathbb{R}(X^4 - X^{-4})] = 4\times2=8.$$ Así que por consideraciones de grado, $f(t) \in F[t]$ es efectivamente el polinomio mínimo de $X$ .

Tras algunos cálculos, podemos demostrar que las raíces de $f(t)$ son $$\pm X, \pm iX, \pm \frac {\zeta_8} X, \pm \frac {i\zeta_8} X,$$ donde $\zeta_8 = e^{2\pi i/8}.$ Por lo tanto, $L = \mathbb{C}(X),$ lo que significa $$[L:F] = [\mathbb{C}(X):\mathbb{R}(X)][\mathbb{R}(X):F] = 16.$$ Creo/espero estar en lo cierto hasta ahora.

Sin embargo, no puedo demostrar que $\Gamma(L/F)$ tiene un elemento de orden $8$ . Cualquier automorfismo de campo de $L$ fijación de $F$ debe permutar las raíces de $f(t)$ ya que los coeficientes son fijos. Sin embargo, no consigo encontrar una permutación que tenga orden $8:$

• $X \mapsto -X$ tiene orden $2$ .
• $X \mapsto \pm iX$ tiene orden $4$ .
• $X \mapsto \zeta_8/X$ tiene orden $2$ .
• Todo lo demás también parece tener orden $2$ porque $X \mapsto aX^{-1} \mapsto X$ para cualquier constante $a$ ?

¿Qué estoy haciendo mal exactamente? Hace tiempo que no hago teoría de Galois, así que creo que puedo estar cometiendo un simple error. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Ya ha observado que $[L:F]=16$ . En $L=F(X,i)$ cualquier elemento $\tau$ del grupo de Galois $G=Gal(L/F)$ se determina unívocamente, si conocemos las imágenes $\tau(X)$ y $\tau(i)$ .

Claramente $\tau(X)$ tiene que ser un cero de $f(t)$ Así que hay ocho opciones. Igualmente claro $\tau(i)=\pm i$ dos opciones. Eso es dieciséis combinaciones, por lo que todos ellos deben ocurrir, cada uno con un automorfismo determinado de forma única.

Pediste un automorfismo de orden ocho. El automorfismo $\sigma$ determinado por $\sigma(i)=-i$ , $\sigma(X)=\zeta/X$ resulta ser uno de ellos. La restricción de $\sigma$ a $\Bbb{C}$ es la conjugación compleja habitual. Por lo tanto $\sigma(\zeta)=\overline{\zeta}=1/\zeta$ . Por lo tanto $$\sigma^2(X)=\sigma(\zeta/X)=\frac{\sigma(\zeta)}{\sigma(X)}=\frac{1/\zeta}{\zeta/X}=\frac{X}{\zeta^2}=-iX.$$ De ello se deduce que $\sigma$ permuta las raíces de $f(t)$ como sigue $$\sigma:X\mapsto \frac{\zeta}{X}\mapsto -iX\mapsto\frac{i\zeta}{X}\mapsto-X\mapsto-\frac{\zeta}X\mapsto iX\mapsto-\frac{i\zeta}X\mapsto X,$$ es decir, como un ciclo de 8.

Como has observado, el automorfismo $\alpha$ definido por $X\mapsto \zeta/X$ , $i\mapsto i$ tiene orden dos. A menos que haya cometido un error, tenemos $\alpha\sigma\alpha=\sigma^{-1}$ lo que implica que $G\simeq D_8$ el grupo de simetrías de un octógono regular. Aquí $\sigma$ corresponde a una rotación por $\pi/4$ y $\alpha$ es una de las reflexiones.

Los campos de extensión de grado cuatro son los campos fijos de los subgrupos de orden cuatro. Por la conocida estructura del grupo diedro sabemos que el único subgrupo cíclico de orden cuatro está generado por $\sigma^2$ . Además, las reflexiones respecto a cualquier par de ejes de simetría ortogonales del octógono generan una copia del grupo de Klein cuatro. Hay un total de cuatro subgrupos de este tipo.

Espero que esto te ayude a empezar a buscar los cuatro campos intermedios.