Representaciones unitarias de SL(2, R)

Question

He oído que las representaciones unitarias irreducibles de formas no compactas de grupos de Lie simples, el primer ejemplo de tal grupo G en SL(2, R) puede describirse completamente y que existe una parte discreta y otra continua del espectro de L^2(G) .

1. ¿Cómo se describen esas representaciones?
2. ¿Todas las representaciones unitarias proceden de L^2(G) ?
3. ¿Cómo se relacionan con la representación de compactos SO(3, R) ?
4. ¿Qué ocurre en el límite plano entre SL(2, R) y SO(3, R) ?

Además, ¿es posible responder a las preguntas anteriores simultáneamente para todos los grupos Lie, no sólo para SL(2, R) ?

Answer 1

Te recomiendo encarecidamente que leas el artículo "Representations of semisimple Lie groups" de Knapp y Trapa en el park city/ias proceedings "Representation theory of Lie groups". Es una muy buena introducción al problema de la descripción del "dual unitario" (que es sobre lo que estás preguntando) que se centra en SL(2,R). Por ejemplo, en la página 9 se dice que "las representaciones unitarias irreducibles que aparecen en L^2(G) no agotan prácticamente el dual unitario" para grupos de Lie semisimples generales (respondiendo así a tu pregunta 2). Para más información, puedes consultar el libro de Knapp "Representation theory of semisimple groups: an overview based on examples". Por ejemplo, las secciones II.4 y II.5 describen los duales unitarios de SL(2,C) y SL(2,R) respectivamente. Los duales unitarios de GL(n,C) y GL(n,R) fueron descritos por Vogan. Se conocen algunos otros duales unitarios, pero en general no creo que se conozca nada más. Una aproximación es a través de la parametrización de Langlands de representaciones admisibles irreducibles de grupos reductores. Este resultado se conoce para todos los grupos y las representaciones unitarias son admisibles, así que el problema sería identificar qué representaciones admisibles son unitarias (el artículo de knapp-trapa habla de esto). En cuanto a 3), toda representación unitaria irreducible de un grupo compacto es de dimensión finita, por lo que no se obtiene ninguna de las representaciones de dimensión infinita que se obtienen para SL(2,R). No sé qué quieres decir con 4).

Para una respuesta completa a 1) puede consultar texto del enlace .

Answer 2

Sólo quiero profundizar en las preguntas 3. y 4. Consideraré los grupos localmente isomorfos SU(1,1) de SL2(R) y SU(2) de SO(3)

Existe una analogía entre las series discretas de SU(1,1) y las irreps unitarias de SO(3). Ambas tienen representaciones holomorfas en la órbita del grupo en la variedad bandera S^2 = SL(2,C)/B (B es un subgrupo de Borel). En el caso de SU(2), la órbita es la totalidad de SU(2), mientras que para SU(1,1) es un superespacio no compacto: El disco de Poicare. En ambos casos el espacio de representación es un espacio de Hilbert de núcleo reproductor y la acción del grupo se realiza mediante una transformación de Mobius. Esta analogía se generaliza a otros grupos no compactos que tienen una serie discreta holomorfa y puede considerarse como una generalización de la construcción de Borel-Weil para grupos compactos.

Respecto a la pregunta 4. Creo que te refieres a la teoría de Wigner de contracción de grupos de Lie, en la que un grupo de Lie con la misma dimensión y con direcciones más "planas" se asocia al grupo de Lie original. Por ejemplo hay una contracción de SU(2) al grupo euclídeo en dos dimensiones y de SU(1,1) al grupo de Poncare en dos dimensiones. Existen conexiones interseccionales con las representaciones de grupo de las versiones contraídas, y también de los Casimires.

Answer 3

Creo que Rob H. es probablemente la mejor; pero, para (1) y (2), si está interesado en pequeños grupos lineales generales y especiales en particular, podría hacer peor que consultar Lang's $\operatorname{SL}_2(\mathbb R)$ cuyo tema dejaré que adivinen. Bump's Formas automórficas y representaciones también cubre el $\operatorname{GL}_2$ imagen muy bien, aunque posiblemente desde un punto de vista diferente al que usted tiene en mente.

Answer 4

En cuanto a la clasificación de las representaciones unitarias irreducibles de arbitraria grupos de Lie, Michel Duflo demostró (supongo que a principios de los años 80) que, al menos para los grupos de Lie algebraicos, la clasificación puede reducirse al caso de los grupos de Lie reductores. Véase la obra de Vogan Representaciones unitarias de grupos de Lie reductores para más información.