¿Cuál es la diferencia entre grupos gratuitos y un producto gratuito?

Question

Me encuentro con productos libres por primera vez en Topología Algebraica durante la discusión del teorema de van Kampen, y parece que no puedo decir la diferencia entre un producto libre de grupos, y un grupo libre. La definición que conozco (de un producto libre) es:

Sea $G,H$ ser grupos. Definir $G *H$ el conjunto de todas las palabras formales $g_1h_1 \cdots g_nh_k$ donde $g_i \in G$ y $h_j \in H$ . Entonces $G*H$ es un grupo bajo la operación de yuxtaposición, y la identidad es la palabra vacía.

Esta definición puede extenderse al producto libre de una colección arbitraria $G_\alpha$ de grupos, pero no veo en qué se diferencia esta definición del grupo libre sobre un conjunto $S$ . Mis conjeturas sobre las diferencias:

1. Los grupos libres pueden formarse con cualquier conjunto $S$ mientras que los productos libres se definen para colecciones de grupos .
2. Los productos libres respetan las relaciones entre los grupos. Por ejemplo, en $G*H$ la palabra $g_1g_2h_1$ es sólo $g_3h_1$ para algunos $g_3=g_1g_2 \in G$ . Mientras que no existe ninguna relación subyacente para las palabras de un grupo libre (salvo la cancelación formal de las palabras).

Y una última pregunta: ¿todos los grupos gratuitos son también productos gratuitos? ¿O la inclusión va en otra dirección?

Answer 1

En un grupo libre sobre un grupo generador, digamos $\{a,b\}$ cada elemento puede expresarse unívocamente como $g_1^{r_1}g_2^{r_2}\cdots g_n^{r_n}$ donde $g_i\in\{a,b\}$ y $g_{i+1}\ne g_i$ y cada $r_i\in\mathbb Z$ . Por ejemplo, $a^2b^{-3}a^4b^2$ . Esto no es necesariamente cierto para un producto gratuito. Veamos $G\cong\mathbb Z/2\mathbb Z$ y $H\cong\mathbb Z/3\mathbb Z$ . Sea $G=\langle a\rangle$ y $H=\langle b\rangle$ . Toma, $a^4b^{-5}=b$ .

En general, un grupo libre sobre $S$ es un producto libre de los infinitos grupos cíclicos generados por cada miembro de $S$ . Un producto libre de grupos no es necesariamente un grupo libre.