Ecuación funcional - No es tan trivial, ¿o sí?

Question

Considera la siguiente FE:

$$f(f(x) - 2y) = 2x - 3y + f(f(y)-x)$$ para todos los reales $x,y$ . Visite $f$ .

Es fácil observar que la única solución polinómica de la FE es $f(x) = x$ . Sin embargo, no he podido probar que $f(x) = x$ es la única solución. ¿Cómo puedo demostrarlo o refutarlo? De hecho, ¿cuál es la mejor manera de enfocar la ecuación funcional anterior? Se agradecería una solución más general y menos conjeturas.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Un enfoque alternativo:

Supongamos que $f(x)=px+q$ para algunas constantes $p$ y $q$ . Entonces

$p(px+q-2y) + q = 2x - 3y + p(py+q-x) + q$

$\Rightarrow p^2x -2py +pq + q = (2-p)x + (p^2-3)y +pq + q$

$\Rightarrow (p^2+p-2)x -(p^2 + 2p-3)y =0$

Dado que esto debe ser cierto para todos $x$ y $y$ tenemos $p^2+p-2=0$ y $p^2+2p-3=0$ . Así que $p=1$ y $q$ puede tomar cualquier valor.

Answer 2

Sea y=0, tenemos f(f(x)) =2x+f(f(0)-x), que es f(f(x))=2x+f(f(0)- x). Sea x=0, tenemos f(f(0)-2y) =-3y+f(f(y)), que es f(f(0)-2y)=-3y+f(f(y)). Como tanto x como y son aleatorias, cambiamos esta y por x, que es f(f(0)-2x) +3x=f(f(x)). Entonces, f(f(x)) = 2x+f(f(0)-x) = f(f(0)-2x)+3x, que es el mismo precio que f(f(0)-x)= f(f(0)-2x)+x. Ahora, dejamos que "f(0)-2x "sea igual a t, por lo que f(t+x)=f(t)+x. ponemos t=o, tenemos f(x)=x+f(0). Y una vez que pones f(x)=x+f(0) a la ecuación original, funciona.