Evaluación de la suma infinita $ \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^4}$

Question

Estaba explorando MSE cuando conocí las sumas de Euler del tipo general $\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^k}$ .

Me las arreglé para probar los casos $k=2,3$ . Pero, estoy atrapado en $k=4$ .

En mi planteamiento, he conseguido demostrar que

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^4} = \sum_{n,k=1}^\infty \frac{1}{n^2k^3} - \sum_{n,k=1}^\infty \frac{1}{n^2k^2(n+k)}$$

Para lo cual utilicé $ H_n = \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{n(n+k)}$ .

La primera suma es trivial, pero no he podido evaluar la segunda.

He visto bastantes respuestas en MSE, y he encontrado éste bastante satisfactorio, pero engorroso al mismo tiempo.

Busco una respuesta más sencilla. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Parece que su idea es efectivamente buena.

$$\sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n^2k^2(n+k)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2(n+k)}$$ $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2(n+k)}=\sum_{k=1}^\infty\Bigg[-\frac{1}{n^2 k}+\frac{1}{n^2 (n+k)}+\frac{1}{n k^2}\Bigg] =-\frac 1{n^2} \left(\psi (n+1)-\frac{\pi ^2 }{6}n+\gamma \right)$$

Ahora (utilizando un CAS para la única parte difícil), $$\sum_{k=1}^\infty \frac {\psi (n+1) } {n^4}=-\frac{\pi ^2 }{6}\zeta (3)+3 \zeta (5)-\gamma\frac{ \pi ^4}{90}$$