Supongamos que $f$ cumple la condición de Lipschitz.
Para unos valores iniciales dados $y_0, z_0\in \mathbb{R}$ consideramos los PIV: $$y'=f(t,y), \ y(a)=y_0 \\ z'=f(t,z), \ z(a)=z_0$$ con $a\leq t \leq b$ .
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1) Demostrar que el problema tiene solución única, es decir, si $y_0=z_0$ entonces $y(t)=z(t)$ para todos $t$ . $$\max_{1\leq t\leq b}|y(t)-z(t)|\leq c|y_0-z_0|$$
2) Que $\{y^n\}$ et $\{z^n\}$ sea la aproximación del problema que obtenemos por el método del valor medio, sea $$\epsilon^n:=y^n-z^n \\ \epsilon^{n+1/2}:=y^{n+1/2}-z^{n+1/2} \\ y^{n+1/2}=\frac{1}{2}(y^{n+1}+y^n)$$ demostrar que $$(\epsilon^{n+1}-\epsilon^n)\epsilon^{n+1/2}=h[f(t^{n+1/2}, \frac{1}{2}(y^{n+1}+y^n))-f(t^{n+1/2}, \frac{1}{2}(z^{n+1}+z^n))]\epsilon^{n+1/2}$$
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He hecho lo siguiente:
1) He demostrado que $e^{-2Lt}(y(t)-z(t))^2$ es decreciente para $t\in [a,b]$ .
Entonces tenemos lo siguiente: $$0\leq e^{-2Lt}(y(t)-z(t))^2\leq e^{-2Lt_0}(y(t_0)-z(t_0))^2=e^{-2Lt_0}(y_0-z_0)^2$$ Si $y_0=z_0$ obtenemos $e^{-2Lt}(y(t)-z(t))^2=0 \Rightarrow y(t)-z(t)=0\Rightarrow y(t)=z(t)$$ Por lo tanto, el problema tiene una solución única.
Para la desigualdad podemos demostrar que $y(t)-z(t)$ es decreciente, pero entonces se deduce que $|y(t)-z(t)|\leq |y_0-z_0|$ pero ¿cómo obtenemos esa constante $c$ ¿a la derecha?
2) Para este no tengo ni idea. ¿Podrías darme una pista?
