convergencia o divergencia de series irracionales.

Question

Encontrar la convergencia o divergencia de series $$\sum^{\infty}_{n=1}\sqrt{\frac{4n^6+3n}{2n^2+n+5}}$$

Lo que intento::

$$\frac{4n^6+3n}{2n^2+n+5}\approx 2n^4$$

$$\sqrt{\frac{4n^6+3n}{2n^2+n+5}}\approx \sqrt{2}\; n^2$$

$$\sum^{\infty}_{n=1}\sqrt{\frac{4n^6+3n}{2n^2+n+5}}\approx \sqrt{2}\sum^{\infty}_{n=1}n^2$$

Parece que es divergente.

Pero yo no justificada ¿Cómo puedo probar it.Thanks

Answer 1

La sucesión en su serie lo verifica: $$\sqrt{\frac{4n^6+3n}{2n^2+n+5}}>0 \text{ (trivial for $ n\in\mathbb{N} $),}$$ y $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{4n^6+3n}{2n^2+n+5}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4n^3}{2n}=\lim_{n\rightarrow\infty}2n^2=\infty.$$ Entonces, dado esto (positivo y yendo al infinito) concluimos que: $$\sum^{\infty}_{n=1}\sqrt{\frac{4n^6+3n}{2n^2+n+5}}=\infty.$$