¿Cómo pueden resumirse las fluctuaciones dando su primer y segundo momentos?

Question

En el libro de Zwanzig, Nonequilibrium statistical mechanics, en la página 5, al explicar la ecuación de Langevin para el movimiento browniano, afirma que

$$m \frac{d v}{d t}=-\zeta v+\delta F(t)$$ [...] Se supone que la fuerza durante un impacto varía con extrema rapidez a lo largo de cualquier observación, de hecho, en cualquier intervalo de tiempo infinitesimal. Es evidente que esto no puede ser estrictamente cierto en ningún sistema real. Entonces los efectos de la fuerza fluctuante pueden resumirse dando su primer y segundo momentos, como promedios temporales sobre $$ \langle\delta F(t)\rangle=0, \quad\left\langle\delta F(t) \delta F\left(t^{\prime}\right)\right\rangle=2 B \delta\left(t-t^{\prime}\right) $$ $B$ es una medida de la intensidad de la fuerza fluctuante.

Sin embargo, no consigo entender qué quiere decir con "los efectos de la fuerza fluctuante pueden resumirse dando su primer y segundo momentos...". Es decir, si suponemos que la distribución de la fuerza aleatoria es una distribución normal, entonces los momentos primero y segundo de $\delta F$ especifica la distribución de forma única, pero no veo tal suposición y, francamente, no sería una suposición que me gustaría hacer.

Pregunta: Entonces, ¿qué quiere decir exactamente el autor con esa afirmación? y ¿cuál es el ámbito de validez de esa afirmación?

Answer 1

Se supone que la fuerza es gaussiana/normal (funcional): está totalmente caracterizada por su media y la función de correlación (el hecho de que esté delta-correlacionada simplifica mucho las cosas, pero esto no es necesario para que el ruido sea gaussiano). La solución de esta ecuación de Langevin es una función lineal de la fuerza, es decir, una combinación lineal de variables gaussianas, que por lo tanto también es una variable gaussiana.